数学分析讲义 第五章参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分: 1.F()-∫”f(x,y)d 若对于vx∈[ab]上述积分均是有意义的,即[a,]可以到无穷,积分是收敛的 (若为广义积分的话)。也就是说,作为y的函数,f(x,y)在,月上可积或广 义可积,则F(x)在[a]上就是关于x的函数,从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样,但这里我们所关心的是:作为x的函数,F(x) 与∫(x,y)的性质有哪些关系?F(x)何时是可积的?连续的?可导的?等等这 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题 2.G (x)=a/(x, y)dy a(r) 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G(x)的性质不但依赖于f(x,y) 之性质,而且与a(x),β(x)之性质相关。 另外,上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式 §1含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分,即f(x,y)作为y的函数无瑕 点,[a,]是有限区间的情形(或[a(x),B(x)均为有限区间 为便于书写,记D=[ab]×[a,6 1连续性 定理1:f(xy)∈C(D),则(x,y)=(x)teC(D) 证明:由连续定义 )[(xm=(x) 上式中,第一项可利用函数之连续性,第二项利用函数的可积性说明为小量 由f(x,y)∈C(D),D是有界闭集,所以∫(x,y)在D上一致连续 因而:VE>0,彐61>0,当x-x<61,|y-<6时,有: 13.113数学分析讲义 13.113 第五章 参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分： 1. F ( x) f ( x y, )dy b a = ò 若对于 " Îx [a b, ] 上述积分均是有意义的，即[a b, ]可以到无穷，积分是收敛的 （若为广义积分的话）。也就是说，作为 y 的函数， f ( x y, ) 在[a b, ]上可积或广 义可积，则 F x( )在[ a b, ] 上就是关于 x 的函数，从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样，但这里我们所关心的是：作为 x 的函数，F x( ) 与 f ( x y, ) 的性质有哪些关系？ F x( )何时是可积的？连续的？可导的？等等这一 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题。 2. ( ) ( ) ( ) ( ) , x x G x f x y dy b a = ò 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G x( ) 的性质不但依赖于 f ( x y, ) 之性质，而且与a ( x)， b ( x) 之性质相关。 另外，上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式。 §1 含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分，即 f ( x y, ) 作为 y 的函数无瑕 点，[a b, ]是有限区间的情形（或 é ù a b ( x x ), ( ) ë û 均为有限区间）。 为便于书写，记D = ´ [a b, , ] [a b]。 1 连续性 定理 1： f ( x, y C )Î (D ) ，则 ( , , ) ( ) ( ) y I x y f x t dt C a = Î ò D 。 证明： 由连续定义， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , y y y y y I x y I x y f x t dt fxt dt f x t f x t dt f x t dt a a a - = - £-+ é ù ë û ò ò ò ò 上式中，第一项可利用函数之连续性，第二项利用函数的可积性说明为小量： 由 f ( x, y C )Î (D ) ，D 是有界闭集，所以 f ( x y, ) 在D 上一致连续。 因而：" > e 0 ，$ > d1 0 ，当 0 1 x x - <d ， 0 1 y y - < d 时，有：