含参量的积分 =m2,M==y( 则当x-x<6,|y-则<6时,有: 1(x,y-(x,3)12(B-a) x-a+M1y-x|<5+M= 所以/(x,y)∈C(0) 毕 定理1可以有如下形式之推论 推论:f(xy)∈C(D),则F(x)=Jf(xy)∈ca小,即 y)dy=/(oo, y)dy=f 推论可以简称为:极限号与积分号可以交换次序。 定理2:f(x,y)∈C(D),q(x),v(x)∈C[a,b 且x∈[ab]时,a≤q(x)v(x)≤B, 则:G(x)=J(xy)eC[a,b] 证明:由于G(x)=-。f(xy)-J。f(xy)=1(xw(x)-1(x9(x) 由复合函数之连续性知:G(x)∈C[ab] 2可导性 定理3:设f(xy),(xy)∈C(D),则F(x)=Jmf( y)dyeCola, b 且F(x)=f1(xy)d,即求导与积分可以交换次序。 证明:由导数定义 F(+Ax)-F(x)_[ f(+Ax, y)-f(x,y) 中值定理 f(x+0Ax,y)dy 由于f(xy)∈C(),由上一段推论知: m(x+0xy)h=”(x)小 所以F(x)=”(xy小含参量的积分 13.114 f ( x, y ) - fxy ( 0 0 , 2 ) < - e (b a )， 令： mi 1 n , 2M e d dì ü = í ý î þ ， ( ) ( ) , max , x y M f x y Î = D ， 则当 0 x x - <d ， 0 y y - <d 时，有： ( ) ( ) ( ) 0 000 , , 2 2 2 I x y I x y y M y y M M e e e a e b a - < - + - < + = - 所以 I x( , y C )Î (D ) 。 证毕 定理 1 可以有如下形式之推论： 推论： f ( x, y C )Î (D ) ，则 F ( x) f ( x y, , )dy Cab [ ] b a = Î ò ，即： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim , , lim , x x x x f x y dy f x y dy f x y dy b b b ® ® a a a = = ò ò ò 。 推论可以简称为：极限号与积分号可以交换次序。 定理 2： f ( x, y C )Î (D ) ，j y ( x), , ( x )ÎCab [ ]， 且 xÎ[a b, ]时，a £ £ j( x x ),y b ( ) ， 则： ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ ] x x G x f x y dy Cab y j = Î ò 。 证明： 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,,, ( ( )) ( ( )) x x G x f x y dy f x y dy I x x I x x y j a a = - = - y j ò ò 由复合函数之连续性知：G( x)ÎCab [ , ]。 2 可导性 定理 3：设 f ( x, y f ), , x ( x y C )Î (D ) ，则 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 F x f x y, , dy C a b b a = Î ò ， 且 F ( x ) f x ( x y, )dy b a ¢ = ò ，即求导与积分可以交换次序。 证明： 由导数定义： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , x , 0 1 F x x F x f x x y f x y dy x x f x x y dy b a b a q q + D - + D - = D D = + D < < ò ò 中值定理 由于 f x ( x, y C )Î (D ) ，由上一段推论知： ( ) ( ) 0 lim , , x x x f x x y dy f x y dy b b a a q D ® + D = ò ò 所以 F ( x ) f x ( x y, )dy b a ¢ = ò