定理2设x=yW(t)是单调可导函数，且W(t)≠0， f[w(t]小wW(t)具有原函数，则有换元公式 f(dx=fdi 其中t=y(x)是x=必()的反函数， 证：设fLyw(t)]w(t)的原函数为①(t),令 F(x)=[y'] 则 ra-0业/心o0=w -.f(x)dx=F(x)+C=W(x)]+C =∫fww')dt-wax 2009年7月3日星期五 3 目录○上页 下页 返回 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 = )( +CxF Φ′ t = f ψ t ψ′ t)()]([)( x = ψ t)( 是单调可导函数 , 且 ψ′ t ≠ ,0)( f ψ t ψ′ t)()]([ 具有原函数 , )( d)()]([d)( 1 xt tttfxxf − = = ′ ∫∫ ψ ψψ .)()( 其中 = ψ − 1 是 = ψ txxt 的反函数 证 : 设 ψ ψ′ ttf )()]([ 的原函数为 Φ t ,)( ])([)( 1 xF x 令 − Φ= ψ 则 ′ xF )( = d t d Φ x t d d ⋅ = f ψ t ψ′ t)()]([ )( 1 ψ′ t ⋅ = f x)( d)( xxf ∴ ∫ +Φ= Cx − )]([ 1 ψ = Φ t][ + C )( 1 xt − = ψ )( d)()]([ 1 xt tttf − = = ′ ∫ ψ ψψ 则有换元公式 定理2 设