§4.2对称性与守恒量 1.对称性变换 许多物理系统对于某些特定的变换是不变的。这种不变性也称为对称性。 设系统的状态用屮描写,平随时间的演化服从 Schrodinger方程 a Hy 假设屮受到了某种不依赖于时间的可逆的线性变换Q,即 屮→Y"=OV, 而且反过来说有 y=O 那么系统对于变换的不变性表现为Y服从与平相同的运动方程,即有 y Hy 将上式代入,得到 ayp 力O HOP 也就是说 所以 H 或者 这就是系统在变换Q的作用下保持不变的数学表达。Q称为系统的一个对称变换。考虑到几率守恒,变 换前后的波函数内积应该保持不变,即 OO=00=/ 满足这种条件的变换称为幺正变换( unitary transformation) 在物理上考虑的对称变换总是构成群,称为系统的对称群。如果它是连续群(或称Lie群),那么 我们就可以只考虑群的单位元素(恒等变换)附近的无穷小邻域,即取 O=/+ia 其中E是一个无穷小的实参数。将它代入幺正条件,略去E的高阶项,就得 00=(-18F(+18F)=/+iEF-F=/ 所以 F=A 就是说,F是一个 Hermitian算符,而且它显然也满足 [F,H]=0, 所以它是一个守恒量。这就是对称性与守恒量的关系。用群论的语言,F称为Q的无穷小算符,或者Q 的生成元。当然,这样导出的F可以包含任意的常数因子(也就是说F的单位并没有被确定),这个问 题只用对称性是无法回答的 2.空间平移不变性与动量守恒 以一维系统为例。考虑沿x方向的无穷小平移 对于这个式子(变换)可以有两种理解。一种是坐标系并没有移动,物理系统整个地移动了一个小距离 另一种是物理系统没有移动,坐标系移动了一个小距离。通常前者称为“主动的”变换,后者称为“被1 §4.2 对称性与守恒量 1．对称性变换 许多物理系统对于某些特定的变换是不变的。这种不变性也称为对称性。 设系统的状态用  描写，  随时间的演化服从 Schrödinger 方程 ˆ i . H t  =   假设  受到了某种不依赖于时间的可逆的线性变换 Q ˆ ，即 ˆ  →  =   Q , 而且反过来说有 ˆ 1 Q , −  =  那么系统对于变换的不变性表现为  服从与  相同的运动方程，即有 ˆ i . H t  =   将上式代入，得到 ˆ ˆ ˆ i , Q HQ t  =   也就是说 ˆ 1 ˆ ˆ i , Q HQ t  − =   所以 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ Q HQ H, − = 或者 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] 0. Q H QH HQ  − = 这就是系统在变换 Q ˆ 的作用下保持不变的数学表达。 Q ˆ 称为系统的一个对称变换。考虑到几率守恒，变 换前后的波函数内积应该保持不变，即 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), Q Q Q Q+   =   =   =     所以 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q QQ I. + + = = 满足这种条件的变换称为幺正变换（unitary transformation）。 在物理上考虑的对称变换总是构成群，称为系统的对称群。如果它是连续群（或称 Lie 群），那么 我们就可以只考虑群的单位元素（恒等变换）附近的无穷小邻域，即取 ˆ ˆ ˆ Q I F = + i ,  其中  是一个无穷小的实参数。将它代入幺正条件，略去  的高阶项，就得 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q Q I F I F I F F I ( i )( i ) i ( ) ,    + + + = − + = + − = 所以 ˆ ˆ F F , + = 就是说， F ˆ 是一个 Hermitian 算符，而且它显然也满足 ˆ ˆ [ , ] 0, F H = 所以它是一个守恒量。这就是对称性与守恒量的关系。用群论的语言， F ˆ 称为 Q ˆ 的无穷小算符，或者 Q ˆ 的生成元。当然，这样导出的 F ˆ 可以包含任意的常数因子（也就是说 F ˆ 的单位并没有被确定），这个问 题只用对称性是无法回答的。 2．空间平移不变性与动量守恒 以一维系统为例。考虑沿 x 方向的无穷小平移 x x x x → = −   . 对于这个式子（变换）可以有两种理解。一种是坐标系并没有移动，物理系统整个地移动了一个小距离； 另一种是物理系统没有移动，坐标系移动了一个小距离。通常前者称为“主动的”变换，后者称为“被