动的”变换。容易发现,由于运动是相对的,这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前 种理解。所以波函数的变换是 "(x)=H(x), (参见书上的图42)。把无穷小平移变换代入,得到 (x-ox)=(x) 但是x是变量,所以也可以写 (x=p(x+sx) 如果δx是小量,那么 (x)=平P(x)+6x =1+x、O YY() 与无穷小对称变换′=(1+iEF)H对比,我们可以写 H(x)=1+i应2N(x) 其中 Pr=-ih 是一个 Hermitian算符,它正是沿x方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换x=x-a,那么 波函数的变换是 p'(x)=Y(x+a)=eapry(x)=ea(lax)(x) 这个式子我们已经在前面写过了。根据定义,e"是一个幺正变换(算符),这称为幺正算符的指 数形式(或指数化)。同样的论述当然也可以推广到沿y方向和方向的平移,所以三维空间的平移变 换是 →r=P+o7 它所对应的三维动量算符是 p=-inV 所谓的系统具有空间平移不变性,就是 H(=HG+Sr), 而我们不难验证,如果H具有这个性质,那么确实就有 [p,H=0, 所以动量是守恒的 与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们 早已知道了这件事情:如果H与时间无关(也就是说在时间平移下是不变的),那么它(也就是能量) 是守恒的 3.空间旋转不变性与角动量守恒 先考虑一个比较简单的情形:系统绕轴旋转一个小角度,即做变换φ→>’=q-(q就是 球坐标中的方位角),那么进行与前面完全类似的推导,可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是 而它就是角动量算符的z分量。同理,系统绕x轴或y轴旋转所对应的无穷小算符分别是Lx和L,(这 个结论与我们采用什么坐标系无关)。 更一般地说,三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为 r→r=+o×r, 其中≡n,oq是旋转的角度,n是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数,那么仍然有 H"(F)=P(F), 所以2 动的”变换。容易发现，由于运动是相对的，这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前 一种理解。所以波函数的变换是  =   ( ) ( ) x x ， （参见书上的图 4.2）。把无穷小平移变换代入，得到  − = ( ) ( ) x x x  ， 但是 x 是变量，所以也可以写  = + ( ) ( ). x x x  如果  x 是小量，那么 ( ) ( ) ( ) 1 ( ). x x x x x x x x        = + = +         与无穷小对称变换 ˆ ˆ  = +   ( i ) I F 对比，我们可以写 ( ) 1 i ( ), ˆ x x x p x     = +       其中 ˆ i x p x   −  是一个 Hermitian 算符，它正是沿 x 方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换 x x a  = − ，那么 波函数的变换是 i / ˆ ( / ) ( ) ( ) e ( ) e ( ). x a p a x x x a x x    =  + =  =   而这个式子我们已经在前面写过了。根据定义， i / ˆ e x a p 是一个幺正变换（算符），这称为幺正算符的指 数形式（或指数化）。同样的论述当然也可以推广到沿 y 方向和 z 方向的平移，所以三维空间的平移变 换是 r r r r → = +   , 它所对应的三维动量算符是 ˆ p = −  i . 所谓的系统具有空间平移不变性，就是 ˆ ˆ H r H r r ( ) ( ), = +  而我们不难验证，如果 H ˆ 具有这个性质，那么确实就有 ˆ ˆ [ , ] 0, p H = 所以动量是守恒的。 与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们 早已知道了这件事情：如果 H ˆ 与时间无关（也就是说在时间平移下是不变的），那么它（也就是能量） 是守恒的。 3．空间旋转不变性与角动量守恒 先考虑一个比较简单的情形：系统绕 z 轴旋转一个小角度  ，即做变换     → = −  （  就是 球坐标中的方位角），那么进行与前面完全类似的推导，可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是 ˆ i , Lz   = −  而它就是角动量算符的 z 分量。同理，系统绕 x 轴或 y 轴旋转所对应的无穷小算符分别是 ˆ Lx 和 ˆ Ly （这 个结论与我们采用什么坐标系无关）。 更一般地说，三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为 r r r r → = +    , 其中    n ， 是旋转的角度， n 是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数，那么仍然有  =   ( ) ( ) r r ， 所以