第34讲泰勒中值定理(2) 109 立即可见:f(x)= e sinr-x(1+x)是x的三阶无穷小 利用泰勒公式求高阶导数 当用求导公式求函数f(x)的n阶导函数很复杂时,可以根据泰勒展开式的惟一性求 f(x).所谓∫(x)的泰勒展开式的惟一性,是指用直接法得到的展开式 f(x)=f(x。) f(x。) ) 1! n! (n+1)! (x-x0)”+1 与用间接法将f(x)展成的泰勒展开式 f(x)=ao+a1(x-x)+…+an(x-x。)”+Rn(x) 中(x-x)的同次幂的系数应该一致,即an=,"(x0)(n=0,1,2,…n)从而得 na 例6已知f(x)=x2e,求10)(0)及f(0). 解由e的展开式我们可用间接法容易得f(x)的展开式 因c=1+1+2+…+n+0(”),令=x得 +x2+;+ 2! 从而 )=xe2=x3+x5+ 2+…+x3 用直接法我们可以从形式上得下面的展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0) …十 x"+0(x), (34.5) 2! 比较(344)式与(345)式同次幂的系数得:f(0)=0,f(0)=0,(0)=0,f(0) 7(0)1 f4)(0)=0, 5! 由于(344)式中x的偶次幂的系数为零,所以f100(0)=0 101)(0) 易知f1o(0) 101! 当2n+3=101时,n=49,于是 101! 例7设f(x)= 1+x-2x3,求∫(0),n=1,2,… 解因 1(1 2 1-x=1+x+x2+…+x+…-1<x<1 +2x=1-2x+22x2-…+(-1)"2"x”+… 所以1+x-2x f(1+x+x2+…+x+…)-[1-2x+2x2-…+(-1)2x+…]} 1 =3[1-(-2)11-(-1)2]12+…+3[1-(-1)21x 2 <x< 由公式 f(2=a,得∫(O)=3[1-(-1y2la,=1,2 !