108 高等数学重点难点100讲 =t+o(t) 于是 r=1 3 利用泰勒公式求极限的方法就是利用泰勒公式将函数展开后直接代人或经过变换后代 入要求的极限式中,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限问题.此外,在计 算过程中,要注意高阶无穷小的运算与处理,例如,有限个o(x)(k>0)的代数和仍为 o(x).务必避免o(x)一o(x)=0的错误,详细讲解,请参看第14讲 例3求Imx(x-sinx) 解若所展函数为两个以上函数的代数和,应分别展开到它们的系数消不掉的x次数 最低的项为止,因为以后部分与此项相比为高阶无穷小,如 本题分子2(c0sx-1)+x2=2cosx-2+x2用麦克劳林公式表示为: 2cosx=2 1 2!4! 2+ 2+ x为系数消不去的最低项故分子=2-x+12x+0(x)-2+x=1x 同理,分母=x(x-sinx)=x2- sinx +o(x3) +o(x3) 3 从而原极限=m2+o(x) lim x-0 O(x4) 6 h)-2f(x0) 例4设f(xo)存在,试证im f"(x。). h 证根据题目给出的各种信息,我们可作如下工作: (1)由于f(x)存在,所以可在x=xo处展于f(x),求出其带皮亚诺余项的泰勒展开 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+D,f(x)(x-x)2+o(x-x).(34.1) (2)把x=x0-h,x=x0+h分别代人(34.1)式,得 f"(x0) h)=f(x)+f(xo)(-h)+ h2+o(h2) (34.2 2 m"(x。) f(xo +h)=f(xo)+f(roht2h2+o(h2). (34.3) (3)将(342)(343)式代入原式得原极限={imf(x)hb2+a(h) "(x0) h 例5试问f(x)= sinr-x(1+x)当x→0时是x的几级无穷小? 解如果用才相比较即求lmn(2=A(A≠0)欲确定a为多少是比较麻烦的,要 a=1,2,…n-一试做.下面我们用泰勒公式将f(x)转化为多项式函数 f(x)=(1+x++a( x(1+x) x2+2-1x2+o(x)-(x+