即a=f()(k=12,n 于是就有 p.（)=f)+∫八x-)+7∫"(xx-P++f(x-xP. 二、泰勒中值定理 泰勒中值定理如果函数∫(x)在含有，的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数，则当X在 (a,b)内时，f(x)可以表示为x-x的一个n次多项式与一个余项R(x)之和，即 f(x)=f(xo)+f(xoXx-xo)+f"(xoXx-xo)+.+f(xoXx-xo)"+R(x) 其中R()=ax-6y(E介于与x之间 (n+01 证明：由假设，R(x)在(a,b)内具有直到(n+)阶导数，且 R.(x)=R(x)=R(6)==R(x)=0 两函数R(x)及(x一X)在以x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 Rx)=R()-R()R(5)(5介于x与x之间 x-m(-00n+-xJ 两函数R(x)及(n+1(x-x)”在以x及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 R(5) R(5)-Rx) n+W=无分m+后-P-0=n+x厂5介于与x之间，以此下去，经过a+女 次后，得P(x)=0,所以R(x)=f(x) 则由上式得R(x)=x-x广（传介于名与x之间证华 说明： 1.这里多项武2的=X-+g-r++:-r 称为函数f(x)按x-x的幂展开的n次近似多项式，公式 2.f(x)=f(x)+f(Xx-x)+jI"(Xx-x)+.+(Xx-xr+R.(x) 称为f(x)按x-x的幂展开的n阶泰勒公式，而R(x)的表达式 1414 即 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k = ( k =1,2,  ,n ) 于是就有 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) = 0 +  0 − 0 +  0 − 0 +  + −  二、泰勒中值定理 泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 0 x 的某个开区间 (a,b) 内具有直到 n +1 阶导数 则当 x 在 (a,b) 内时 f (x) 可以表示为 0 x − x 的一个 n 次多项式与一个余项 R (x) n 之和，即 ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n = +  − +  − +  + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  (  介于 0 x 与 x 之间) 证明：由假设, R (x) n 在 (a,b) 内具有直到 (n +1) 阶导数,且 ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n  n 两函数 R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以 0 x 及 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + −  =   (  介于 0 x 与 x 之间) 两函数 R (x) n  及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以 0 x 及 1  为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − −  −  = + −  n n n n n n x R R x n x R     1 2 0 2 ( 1)( ) ( ) − + −  = n n n n x R   (  介于 0 x 与 x 之间), 以此下去,经过 (n +1) 次后,得 ( ) 0, ( 1) = + P x n n 所以 ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 则由上式得 ( ) 1 0 ( 1) ( ) 1 ! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  (  介于 0 x 与 x 之间). 证毕 说明： 1．这里多项式 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + −  = +  − +   称为函数 f (x) 按 0 x − x 的幂展开的 n 次近似多项式 公式 2． ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n = +  − +  − +  + − + 称为 f (x) 按 0 x − x 的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式