在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： e≈l+x,ln(1+x)≈x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确 度不高，这所产生的误差仅是关于X的高阶无穷小：；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大 小，因此，对于精确度要求较高且需要估计误差时候，就必须用x高次多项式来近似表达函数，同时给出误 差公式 设函数f(x)在含有的开区间内具有直到n+I阶导数，现在我们希望做的是：找出一个关于x一x,的 n次多项式 P(x)=a+a(x-x)+a,(x-o)尸+.+a(x-xo)” 来近似表达f()，要求p.(x)与)之差是比(x-x,广高阶的无穷小，并给出误差 R(x=f(x)-P(x)的具体表达式 我们自然希望p.(x)与f(x)在x,的各阶导数（直到n+1阶导数）相等，这样就有 Pn(x)=a+a,(x-x)+a2(x-x)2+.+an(x-x)" P'(x)=a+2a,(x-x)+.+na(x-x)" Px)=2a+32a,(x-x)++n-1)a.(x-x)） P)=3!a,+4.3.2a.(x-x)+.+nn-1n-2)a.(x-x) .p(x)=nla. 于是p.(x)=ap(x)=ap(x)=2la,px)=3a"p(x)=a 按要求有f(x)=p.(x)=a,f'(x)=p.(x)=a, f"(x)=p(x)=2a,f"(x)=px)=3a,., f(x)=p(x)=na. 从而有a,=fx),a=f'(x,)马=7f"(). 4=3∫"6)，a=f(w), 13 13 在微分的应用中已经知道 当 x 很小时 有如下的近似等式 e x x 1+  ln(1+ x)  x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确 度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大 小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用 0 x 高次多项式来近似表达函数 同时给出误 差公式 设函数 f (x) 在含有的开区间内具有直到 n +1 阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于 0 x − x 的 n 次多项式 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 来近似表达 f (x)  要 求 p (x) n 与 f(x) 之差是比 n (x x ) − 0 高阶的无穷小  并给出误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 的具体表达式 我们自然希望 p (x) n 与 f (x) 在 0 x 的各阶导数(直到 n +1 阶导数)相等 这样就有 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 1 1 2 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) −  = + − + + − n n n P x a a x x  na x x 2 2 3 0 0 ( ) 2 3 2 ( ) ( 1) ( ) −  = +   − + + − − n n n P x a a x x  n n a x x 3 3 4 0 0 ( ) 3 4 3 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) −  = +   − + + − − − n n n P x ！a a x x  n n n a x x ., n n pn (x) n!a ( ) = 于是 0 0 pn (x ) = a , 0 1 pn (x ) = a , 0 2 pn (x ) = 2!a , 0 3 pn (x ) = 3!a ,., n n pn (x0 ) n!a ( ) =  按要求有 0 0 0 f (x ) = pn (x ) = a  0 0 1 f (x ) = pn (x ) = a  0 0 2 2 f (x ) = pn (x ) = a  0 0 3 f (x ) = pn (x ) = 3!a      , n n n n f (x ) p (x0 ) n!a ( ) 0 ( ) = = 从而有 ( ) 0 0 a = f x  ( ) 1 0 a = f  x  ( ) 2! 1 2 0 a = f  x  ( ) 3! 1 3 0 a = f  x  .  ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n =