王.R国-2-广g介于X与x之间席为格翻日型余复 4.当n=0时，泰勒公式变成f)=x,)+f(x-x,)(5介于x,与x之间)一拉格朗日中值公式， 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广， 5.如果对于某个固定的n,当X在区间(a,b)内变动时，f(x总不超过一个常数M则有估计式 风9-叫六-及典-0 M 可见，当X→Q时，误差R(x是比(x一x,)高阶的无穷小，即 R(x)=o(x-x,)该余项称为皮亚诺形式的余项 6.在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成 )=fx)+.-x)+"x-+Xx-x+-) 7.当x=0时的泰勒公式称为麦克劳林Maclaurin)公式，就是 o=0+fox+t0++g0r+R网 或f=0+f0x+0x++fo0r"+o 2 中R-0得 &由此近计草公式0+0+9++g把r M 误差估计式变为R,非a中 三、简单的应用 例1求f(x)=e的n阶麦克劳林公式 解由于f(x)=f"(x)=.=fm(x)=e 所以f(0)=f'(0)=f"(0)=.=f(0)=1 而了()=e代入公式，得 15 3． 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  (  介于 0 x 与 x 之间)称为拉格朗日型余项 4．当 n = 0 时 泰勒公式变成 ( ) ( ) ( )( )0 ' 0 f x = f x + f  x − x (  介于 0 x 与 x 之间)—拉格朗日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 5．如果对于某个固定的 n 当 x 在区间 (a,b) 内变动时 ( ) ( 1) f x n+ 总不超过一个常数 M 则有估计式 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| | + + + − + −  + = n n n n x x n M x x n f R x  及 0 ( ) lim 0 ( ) 0 = → − n n x x x x x R  可见 当 x →a 时 误差 R (x) n 是比 n (x x ) − 0 高阶的无穷小 即 ( ) (( ) ) 0 n n R x = o x − x ,该余项称为皮亚诺形式的余项 6．在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 ( )( ) (( ) ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 n n n f x x x o x x n f x = f x + f  x x − x + f  x x − x +  + − + − 7．当 x0 = 0 时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式 就是 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n +  + +  = +  + 或 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n x o x n f x f f x f f x +  + +  = +  + 其中 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f R x   8．由此得近似计算公式 n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 +  +   +  +  误差估计式变为 1 | | ( 1)! | ( )| + + = n n x n M R x  三、简单的应用 例 1 求 x f (x) = e 的 n 阶麦克劳林公式 解 由于 n x f (x) = f (x) = = f (x) = e  ( ) 所以 (0) (0) (0) (0) 1 ( ) =  =  = = = n f f f  f 而 n x f x e   = + ( ) ( 1) 代入公式,得