x(0<0<1). 由会式可知e+小号+后 结误差：(x>0)风@ar0c0< g-le11+分叶情壁风Ka可 e 例2求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式 解：因为f八(x)=sinx+n),n=l,2, 所以f(0)=0,f'(0)=1,f"(0)=0,f"(0)=-1f"(0=0,. 当m=12,3时，有近似公式 sinx≈X,smxx-x，sinxsx-子x+x 例3计算日心+2o-3 x 期由于g=l+x+r+a)=l-苦+若+的 所g+2cosx-3=(分+27x+a) 四、常用函数的麦克劳林公式 (2n( 小号若台4r高a 1616 (0 1). 2! ! ( 1)! 1 1 2   + = + + + + + +   n n x x x n e n x x e x  由公式可知 2! ! 1 2 n x x e x n x  + + ++ 估计误差: 设 (x  0) (0 1). ( 1)! ( 1)! ( ) 1 1   +  + = + +   n x n x n x n e x n e R x 取 ! 1 2! 1 1, 1 1 n x = e  + + ++ , 其误差 ( +1)!  n e Rn . ( 1)! 3 +  n 例 2 求 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 ) 2 ( ) sin( ( )  f x = x+n n  n =1,2,  所以 f (0) = 0, f (0) =1, f (0) = 0, f (0) = −1, f ( 4) (0) = 0,  于是 ( ) (2 1)! ( 1) 5! 1 3! 1 sin 2 2 1 1 3 5 x R x m x x x x m m m + − − = − + ++ − −  当 m =1,2,3 时 有近似公式 sin x  x, 3 3! 1 sin x x− x  3 5 5! 1 3! 1 sin x x− x + x  例 3 计算 4 0 2cos 3 lim 2 x e x x x + − → . 解 由于 ( ) 2! 1 1 2 4 4 2 e x x o x x = + + + ( ) 2! 4! cos 1 5 2 4 o x x x x = − + + 所以 ) ( ) 4! 1 2 2! 1 2cos 3 ( 4 4 2 e x x o x x + − = +  + 故 原式= 4 4 4 0 ( ) 12 7 lim x x o x x + → . 12 7 = 四、常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x  ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − +