课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第三讲万数皆图：费马猜想的证明 一、神奇的15(CS定理)的证明思想 回忆：15-定理是指 正整数系数的四元多项式ax2+by2+cz2+du2是万有多项式←→ 它能表示15以内的所有正整数： 为什么？？ 学过线性代数的同学都知道，四元多项式ax2+by2+cz2+dw2是二次 型的特殊情形.因此，可以更一般地问：哪些整系数正定（四元）二次型是万 有二次型？CS的证明利用了正定二次型与正定矩阵、内积等工具.其思想 是每个正定的二次型都是某个“格”(lattice)的“范数”(norm). 1➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ✶♥ù ✙ê✛ã➭↕êß➂✛②➨ ➌✦✥Û✛15(CS➼♥)✛②➨❣➂ ↔➪➭15-➼♥➫➁ ✔✒ê❳ê✛♦✄õ➅➟ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➫✙❦õ➅➟ ⇐⇒ ➜❯▲➠15➧❙✛↕❦✔✒ê➐ ➃➓♦??? ➷▲❶✺➇ê✛Ó➷Ñ⑧✗➜♦✄õ➅➟ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➫✓❣ ✳✛❆Ï➐✴. Ï❞➜➀➧➁➌❸✴➥➭❂✡✒❳ê✔➼(♦✄)✓❣✳➫✙ ❦✓❣✳➸CS✛②➨⑤❫✡✔➼✓❣✳❺✔➼Ý✡✦❙➮✤óä. Ù❣➂ ➫③❻✔➼✛✓❣✳Ñ➫✱❻✴❶✵↔lattice↕✛✴❽ê✵↔norm↕. 1