临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (2)nf(x)在[a,b]可积 45.设∫(x)在[a,b]可积,求证:任给E>0,存在逐段为常数的函数(x),使 ∫1/(x)-(x)ak 46.设f(x)在[a,b]上有界,定义 orla, b]= sup f(x)-inf f(x), 求证 orla, b]= sup If(x)-f(x") x;x"∈[a,b 47.设f(x)在x0附近有定义且有界,定义 o (ro)=lim xo-,o+ 求证:f(x)在x连续的充分必要条件为O(x)=0 48.若函数f(x)在[A,B可积,证明 lim If(x+h)-f(x)l dx=0, h→0Ja 其中A<a<b<B(这一性质称为积分的连续性) 49.f(x)≥0,f"(x)≤0,对任意省仨x∈[a,b]成立,求证 f(x)≤ f∫(x)dx 50.设∫(x)在[a,b有连续的导函数,求证 mN/∫()r()h 51.设∫(x)在[a,b]可积,求证;存在连续函数序列qn(x),n=1,2,…,使 lim%,(x)dx=f(xdx 52.设∫(x)在[a,b黎曼可积,求证: (1)存在区间序列{[a,b]}使 [an,bm]c(an, b,)c(a, b), 且Of([an,b)<临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 (2) ln f x( ) 在[ , a b]可积． 45．设 f x( ) 在 [ , a b] 可积，求证：任给 ε > 0 ，存在逐段为常数的函数ϕ(x) ，使 | ( ) ( )| . b a f x − < ϕ x dx ε ∫ 46．设 f x( ) 在[ , a b]上有界，定义 [ , ] [ , ] [ , ] sup ( ) inf ( ), f x a b x a b ω a b f x f x ∈ ∈ = − 求证 ', '' [ , ] [ , ] sup | ( ') ( '') | . f x x a b ω a b f x f x ∈ = − 47．设 f x( ) 在 0 x 附近有定义且有界，定义 0 0 0 1 1 ( ) lim , f n x x x n n ω →+∞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠. 求证： f x( ) 在 0 x 连续的充分必要条件为 0 ( ) 0 f ω x = ． 48．若函数 f x( ) 在[ , A B]可积，证明： 0 lim | ( ) ( ) | 0, b h a f x h f x dx → + − = ∫ 其中 A a < < b < B (这一性质称为积分的连续性)． 49． f x( ) ≥ 0, f ''(x) ≤ 0, 对任意省仨 x∈[ , a b] 成立，求证： 2 ( ) ( ) . b a f x f b a ≤ x dx − ∫ 50．设 f x( ) 在[ , a b]有连续的导函数，求证： 1 max | ( ) | | ( ) | | '( ) | . b b a x b a a f x f x dx f x ≤ ≤ b a ≤ + dx − ∫ ∫ 51．设 f x( ) 在[ , a b]可积，求证；存在连续函数序列 ( ), 1, 2, n ϕ x n = L，使 lim ( ) ( ) . b b n n a a ϕ x dx f x dx →∞ = ∫ ∫ 52．设 f x( ) 在[ , a b]黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列{[a b, ]}使 1 1 [ , ] ( , ) ( , ) n n n n a b a b a b + + ⊂ ⊂ , 且 1 ([ , ]) f n n a b n ω < ； - 10 -