临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (-∞,+∞)上一致连续 37.若f(x)在区间X(有穷或无穷)中具有有界的导数,即∫(x)k≤M,x∈X,则 f(x)在X中一致连续 38.求证:f(x)=√xlnx在(0,+∞)上一致连续 39.设∫(x)在(a,+∞)上可导,且limf(x)=+∞,求证:f(x)在(a,+∞)上不一致 连续 40.求证:f(x)=xlnx在(O0,+∞)上不一致连续 41.判断下列函数在区间[0,1上的可积性: (1)f(x)在[0,1上有界,不连续点为x1 (2)f(x)= sin-),x∈(0,1]l =0 x∈(0,1] 0, (0,1 ∫( 0 42.讨论f(x),2(x),f(x)三者间可积性的关系 43.设∫(x),g(x)都在[a,b]上可积,证明: M(x)=max(f(x),g(x)), m(x)=min(f(x),g(x)) 在[a,b]上也是可积的 44.设f(x)在[a,b上可积,且∫(x)≥r>0,求证: 在[a,b]可积临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( , −∞ +∞) 上一致连续． 37．若 f x( ) 在区间 X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即| ' ，则 在 f x( ) |≤ M x , ∈ X f x( ) X 中一致连续． 38．求证： f ( ) x = x ln x 在(0,+∞)上一致连续． 39．设 f x( ) 在( , a +∞) 上可导，且 lim '( ) x f x →+∞ = +∞ ，求证： 在( , 上不一致 连续． f x( ) a +∞) 40．求证： f x( ) = x ln x 在(0,+∞)上不一致连续． 41．判断下列函数在区间[0,1] 上的可积性： (1) f x( ) 在[0,1] 上有界，不连续点为 1 x n( 1, 2, n = = L) ； (2) sgn(sin ), (0,1], ( ) 0, 0; x f x x x ⎧ π ⎪ ∈ = ⎨ ⎪ ⎩ = (3) 1 1 , (0,1 ( ) 0, 0; x f x x x x ⎧ ⎡ ⎤ ⎪ − ∈ ⎢ ⎥ = ⎨ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ = ], (4) 1 , (0,1 1 ( ) 0, 0. x f x x x ⎧ ∈ ⎪ ⎪⎡ ⎤ = ⎨⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ = ], 42．讨论 2 f ( ) x f , (x), | f (x) |三者间可积性的关系． 43．设 f x( ), g(x) 都在[ , a b]上可积，证明： M ( ) x = max( f ( ) x g, (x)), m(x) = min( f (x g ), ( ) x ) 在[ , a b]上也是可积的． 44．设 f x( ) 在[ , a b]上可积，且 f x( ) ≥ >r 0 ，求证： (1) 1 f ( ) x 在[ , a b]可积； - 9 -