临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 27.设∫(x)在[ab]上连续,并且最大值点x是唯一的,又设x∈[a,b,使 limf(xn)=f(x),求证 lim x = xo 28.设f(x)在[a,b上连续,可微,又设 (1)min f(x)<p< max f(x) (2)如果∫(x)=p,则有f(x)≠0 求证:f(x)=p的根只有有限多个 29.设∫(x)在[a,b]连续,∫(a)<0,f(b)>0,求证:存在∈(a,b),使∫(5)=0, 且f(x)>0(5<x≤b) 30.设f(x)是[a,b]上的连续函数,其最大值和最小值分别为M和m(m<M),求证 必存在区间[a,B],满足条件: (1)f(a)=M,f(B)=maf(a)=m,f(B)=M: (2)m<f(x)<M,当x∈(a,B) 1.∫(x)在[,2a]连续,且f(0)=f(2a),求证:存在x∈[0,a],使∫(x)=f(x+a) 32.设∫(x)在[a,b上连续,且取值为整数,求证:f(x)≡常数 33.设∫(x)在(a,b)上一致连续,a,b≠±∞,证明∫(x)在(a,b)上有界 34.若函数∫(x)在(a,b)上满足利普希茨( Lipschitz)条件,即存在常数K,使得 ∫(x)-f(x")K|x'-x",x,x"∈(a,b) 证明:f(x)在(a,b)上一致连续 35.试用一致连续的定义证明:若函数∫(x)在[a,C]和[c,b]上都一致连续,则∫(x)在 [a,b]上也一致连续 36.设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,且limf(x)与limf(x)存在.证明;f(x)在临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 27．设 f x( ) 在 [ , a b] 上连续，并且最大值点 0 x 是唯一的，又设 0 x ∈[ , a b] ，使 0 lim ( ) ( ) n x f x f x →∞ = ，求证 0 lim n x x x →∞ = 28．设 f x( ) 在[ , a b]上连续，可微，又设 (1) min ( ) max ( ); a x b a x b f x p f x ≤ ≤ ≤ ≤ < < (2) 如果 f x( ) = p ，则有 f x'( ) ≠ 0 ， 求证： f x( ) = p 的根只有有限多个． 29．设 f x( ) 在[ , a b]连续， f a( ) < 0 ， f b( ) > 0 ，求证：存在ξ ∈( , a b)，使 f ( ) ξ = 0 ， 且 f x( ) > < 0(ξ x ≤ b) ． 30．设 f (x) 是[ , a b]上的连续函数，其最大值和最小值分别为 M 和 ，求证： 必存在区间[ , m m( < M ) α β ]，满足条件： (1) f M ( ) α = , f (β ) = m 或 f m ( ) α = , f (β ) = M ； (2) m f < ( ) x < M ，当 x ∈( , α β ) ． 31．f (x) 在[0, 2a]连续，且 f (0) = f (2a) ，求证：存在 x∈[0, a] ，使 f x( ) = f (x + a) ． 32．设 f x( ) 在[ , a b]上连续，且取值为整数，求证： f x( ) ≡ 常数． 33．设 f x( ) 在( , a b)上一致连续， a b, ≠ ±∞ ，证明 f x( ) 在( , a b)上有界； 34．若函数 f x( ) 在( , a b)上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 K ，使得 | f x( ') − ≤ f (x '') | K | x '− x '' |, x ', x ''∈(a,b). 证明： f x( ) 在( , a b)上一致连续． 35．试用一致连续的定义证明：若函数 在[ , 和[ , 上都一致连续，则 在 上也一致连续． f x( ) a c] c b] f x( ) [ , a b] 36．设 f x( ) 在 ( , −∞ +∞) 上连续，且 lim ( ) x f x →−∞ 与 lim ( ) x f x →+∞ 存在．证明； f x( ) 在 - 8 -