体积形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11质量守恒 按物质体输运定理,有 i pdr=A 则有 Euler型质量守恒微分方程 p+6p=0 进一步考虑分量表示,可有 0p O (a, t)+i'o(a, t)+p aX t(,t)+(v ot (, t), 9 Ra/aos(a, t)+pvss (a, t)+Vs(pvs) (c,t),g° R3Os(2,)=0 另一方面,可考虑 式中(E)为相对于初始物理构型的密度分布则有 Lagrange型质量守恒微分方程 pF|=p(5,t) 12动量守恒 首先考虑如下引理 引理1.1.对V更∈(R3,有 项= 证明 dt/ ppdr=d p更Fdr pFr=10(+)型F+pFdr 吨F山= 式中利用了 Euler型质量守恒方程有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论—守恒律方程 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 质量守恒 按物质体输运定理, 有 d dt ∫ t V ρdτ = ∫ t V ( ˙ρ + θρ) dτ = 0, 则有 Euler 型质量守恒微分方程 ρ˙ + θρ = 0. 进一步考虑分量表示, 可有 ∂ρ ∂t(x, t) + ˙x s ∂ρ ∂xs (x, t) + ρ∇sV s = ∂ρ ∂t(x, t) + ( V s − ( ∂X ∂t (x, t), g s ) R3 ) ∂ρ ∂xs (x, t) + ρ∇sV s = ∂ρ ∂t(x, t) + ∇s(ρV s ) − ( ∂X ∂t (x, t), g s ) R3 ∂ρ ∂xs (x, t) = 0. 另一方面, 可考虑 ∫ t V ρdτ = ∫ ◦ V ρ|F|dτ = ∫ ◦ V ◦ ρdτ, 式中 ◦ ρ(ξ) 为相对于初始物理构型的密度分布. 则有 Lagrange 型质量守恒微分方程 ρ|F| = ◦ ρ(ξ, t). 1.2 动量守恒 首先考虑如下引理. 引理 1.1. 对 ∀ Φ ∈ T p (R 3 ), 有 d dt ∫ t V ρΦdτ = ∫ t V ρΦ˙ dτ. 证明 d dt ∫ t V ρΦdτ = d dt ∫ ◦ V ρΦ|F|dτ = ∫ ◦ V ˙ ρΦ|F|dτ = ∫ ◦ V [ ( ˙ρ + θρ) Φ|F| + ρΦ˙ |F| ] dτ = ∫ ◦ V ρΦ˙ |F|dτ = ∫ t V ρΦ˙ dτ. 式中利用了 Euler 型质量守恒方程. 1