体积形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 由动量守恒关系式 d dt /sever t ndo+/ pfmdr, 此处t∈2(R3)为应力张量,fm为单位质量物质所受的体积力.由上述引理以及 Gauss- Ostrogradski公式,可有 pa=/ t Odr+/ pfmdr 即有 Euler型动量守恒微分方程 t+pf 另一方面,考虑 0∑0∑ t·nde a入ap I(A,u)dr t·|F|F- 92 a2(,p dr (FtF)·Ndr=|。(Ft·F-)口dr 故可有 Lagrange型动量守恒微分方程 口+;f (F·T).口+pfm, 式中r:=|Ft·F-称为第一类 Piola- Kirchho应力张量,T:=F-1r=|F|F-1·t·F 称为第二类Pioa- Kirchhoff应力张量 1.3动量矩守恒 由动量矩守恒关系式 dt/ r x(pv)dr=f, rx(t n)do+/ rx(efm)dr+/ pmdT 此处m为单位质量连续介质所受的内力偶.考虑到 d j rx(ev)dr=/ or x var=/or x adr (r×t)·ndo 则有 Euler型动量矩守恒微分方程 p×a=(r×t)·口+pr×fm+pm有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 由动量守恒关系式 d dt ∫ t V ρV dτ = ∮ ∂ t V t · ndσ + ∫ t V ρfmdτ, 此处 t ∈ T 2 (R 3 ) 为应力张量, fm 为单位质量物质所受的体积力. 由上述引理以及 Gauss￾Ostrogradskii 公式, 可有 ∫ t V ρa = ∫ t V t · dτ + ∫ t V ρfmdτ, 即有 Euler 型动量守恒微分方程 ρa = · t + ρfm. 另一方面, 考虑 ∮ ∂ t V t · ndσ = ∫ Dλµ t ·   ∂ t Σ ∂λ × ∂ t Σ ∂µ   (λ, µ)dτ = ∫ Dλµ t ·  |F|F −∗ ·   ∂ ◦ Σ ∂λ × ∂ ◦ Σ ∂µ   (λ, µ)   dτ = ∮ ∂ o V (|F|t · F −∗) · Ndτ = ∫ ◦ V (|F|t · F −∗) · ◦ dτ, 故可有 Lagrange 型动量守恒微分方程 ◦ ρa = (|F|t · F −∗) · ◦ + ◦ ρfm =:    τ · ◦ + ◦ ρfm, (F · T ) · ◦ + ◦ ρfm, 式中 τ := |F|t · F −∗ 称为第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量, T := F −1 · τ = |F|F −1 · t · F −∗ 称为第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量. 1.3 动量矩守恒 由动量矩守恒关系式 d dt ∫ t V r × (ρV ) dτ = ∮ ∂ t V r × (t · n) dσ + ∫ t V r × (ρfm) dτ + ∫ t V ρmdτ, 此处 m 为单位质量连续介质所受的内力偶. 考虑到 d dt ∫ t V r × (ρV ) dτ = ∫ t V ρ ˙ r × V dτ = ∫ t V ρr × adτ, ∮ ∂ t V r × (t · n) dσ = ∮ ∂ t V (r × t) · ndσ = ∫ t V (r × t) · dτ, 则有 Euler 型动量矩守恒微分方程 ρr × a = (r × t) · + ρr × fm + ρm. 2