聚点。由极限运算法则得 sin(xy) sin(xy) =lm limy=12=2。 四、多元函数的连续性 定义3设函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内有定义,B(x0,y)是D聚点,且 P∈D。如果 lim f(x, y)=f (r,y)=o,o 则称函数∫(x,y)在点P(x0,y0)连续 如果函数∫(x,y)在开区域(或闭区域)D内的每一点连续,那么就称函数∫(x,y)在D 内连续,或者称f(x,y)是D内的连续函数 若函数f(x,y)在点B(x0,y0)不连续,则称P为函数f(x,y)的间断点。这里顺便指 出:如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数∫(x,y)没 有定义,但在D内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数f(x,y) 的不连续点,即间断点。 前面已经讨论过的函数 x2+y2≠0 f(x,y)=x+y 0, 当(x,y)→>(0,0)时的极限不存在,所以点(0,0)是该函数的一个间断点。二元函数的间断点 可以形成一条曲线,例如函数 sin 在圆周x2+y2=1上没有定义,所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质 性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有 最大值和最小值。这就是说,在D上至少有一点P及一点P2,使得f(B)为最大值而f(P2)聚点。由极限运算法则得 ( , ) (0,2) 0 2 sin( ) sin( ) lim lim lim 1 2 2 x y xy y xy xy y → → → x xy =  =  = 。 四、多元函数的连续性 定义 3 设函数 f (x, y) 在开区域（闭区域） D 内有定义， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 聚点，且 P0  D 。如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = , 则称函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续。 如果函数 f (x, y) 在开区域（或闭区域） D 内的每一点连续，那么就称函数 f (x, y) 在 D 内连续，或者称 f (x, y) 是 D 内的连续函数。 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 不连续，则称 P0 为函数 f (x, y) 的间断点。这里顺便指 出：如果在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内某些曲线，函数 f (x, y) 没 有定义，但在 D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数 f (x, y) 的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0, xy x y f x y x y x y   +  =  +   + = 当 ( , ) (0,0) x y → 时的极限不存在，所以点 (0,0) 是该函数的一个间断点。二元函数的间断点 可以形成一条曲线，例如函数 1 1 sin 2 2 + − = x y z 在圆周 1 2 2 x + y = 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有 最大值和最小值。这就是说，在 D 上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 ( ) P1 f 为最大值而 ( ) P2 f