定义2设二元函数f(x,y)的定义域为D,B(x0,y0)是D的聚点。如果存在常数A 对于任意给定的正数E,总存在正数,使得当点P(x,y)∈D∩U(P0,6)时,都有 (x,y)-A<成立,则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x,)时的极限,记作 lim f(x,y)=A (x,y)+(x0,%) 或∫(x,y)→>A((x,y)→(x0,y0)) 为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P(x,y)时,函数 都无限接近于A。因此,如果P(x,y)以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于 (xy)时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在。但 是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于B(x0,y)时,函数趋于不同的值,那么就可以 断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数 x x2+y2≠0 显然,当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,imf(x,y)=limf(x,0)=0;又 (x,y)→+(0,0) 当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,limf(x,y)=limf(0,y)=0 虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等但是Iimf(x,y)并不存在这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋于点(0,0) 时,有 =Im x→0 显然它是随着k的值的不同而改变的 例3求 lim sin(ry) (x,y)(0,2)x 解这里(x,y)=53的定义域为D={(xyx≠0y∈R,02)为D的定义 2 设二元函数 f (x, y) 的定义域为 D ， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的聚点。如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数  ，总存在正数  ，使得当点 0 P x y D U P ( , ) ( , )    时，都有 f (x, y) − A   成立，则称常数 A 为函数 f (x, y) 当 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → 时的极限，记作 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = ， 或 f (x, y) → A （ 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → ）。 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P(x, y) 以任何方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数 都无限接近于 A 。因此，如果 P(x, y) 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但 是反过来，如果当 P(x, y) 以不同方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数趋于不同的值，那么就可以 断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数      + = +  = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 显然，当点 P(x, y) 沿 x 轴趋于点 (0,0) 时， ( , ) (0,0) 0 0 lim ( , ) lim ( ,0) 0 x y x y f x y f x → → → = = ；又 当点 P(x, y) 沿 y 轴趋于点 (0,0) 时， ( , ) (0,0) 0 0 lim ( , ) lim (0, ) 0 x y y x f x y f y → → → = = 。 虽然点 P(x, y) 以上述两种特殊方式(沿 x 轴或沿 y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等,但是 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → 并不存在.这是因为当点 P(x, y) 沿着直线 y = kx 趋于点 (0,0) 时,有 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 lim lim x y x 1 y kx xy kx k → → x y x k x k = = = + + + ， 显然它是随着 k 的值的不同而改变的. 例 3 求 ( , ) (0,2) sin( ) lim x y xy → x . 解 这里 x xy f x y sin( ) ( , ) = 的定义域为 D x y x y R =   ( , ) 0,  ， 0P (0,2) 为 D 的