因为a⊥a,所以 (a+a)=(a+4,4)=(a,a)+(a,a)=(%,%)=0 于是a=0,从而a=a∈，故乃c,同理又有%c,因此2=Y y的唯一的正交补记为y.由定义知dim'+dim=n. 推论y恰由所有与正交的向量组成 P395,习题10 §6.对称矩阵的标准形 教学目标掌握实对称矩阵的性质，对实对称A矩阵求正交矩阵T使TAT为对角阵。 教学重点：对实对称矩阵A,求正交矩阵T使TAT为对角阵。 教学方法：讲授法 教学过程 本节利用欧氏空间理论，将第五章中关于实对称矩阵的结果予以加强， 首先介绍对称矩阵的一些性质，这些结论在今后也是很有用的. 引理1设A实对称矩阵，则A的特征值均为实数 证明 设是A的特征值，则有非零向量5=(x,2,.x了满足A5=5.令 号=(1，x2,.xn,则AE形=元0正于是有 A,话=(45)=EA5=(4y5=(A5=F5 因为5≠0.故5影=x+x2X3+.+xmX≠0，所以=元0，∈R 设A为n级实对称矩阵，定义R”上的线性变换A如下： AX=AX,X=(x,x,.,xyeR (1) 显然A在标准正交基 6=(1,0,.,0y,62=(0,10.,0.(0,0,1y 2因为 1  ⊥ , 所以 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0            + = + = + = = 于是 1  = 0, 从而 3 3  = V , 故 2 3 V V  , ，同理又有 3 2 V V  , 因此 2 3 V V= . V1 的唯一的正交补记为 1 V . ⊥ 由定义知 1 1 dim dim . V V n ⊥ + = 推论 V1 ⊥ 恰由所有与 V1 正交的向量组成. 作业: P395，习题 10。 预习: 下一节的基本概念. §6.对称矩阵的标准形 教学目标: 掌握实对称矩阵的性质，对实对称 A 矩阵求正交矩阵 T 使 T AT  为对角阵。 教学重点: 对实对称矩阵 A ，求正交矩阵 T 使 T AT  为对角阵。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节利用欧氏空间理论，将第五章中关于实对称矩阵的结果予以加强. 首先介绍对称矩阵的一些性质，这些结论在今后也是很有用的. 引理 1 设 A 实对称矩阵，则 A 的特征值均为实数. 证 明 设 0 是 A 的特征值，则有非零向量 1 2 ( , , ) n  = x x x  满 足 0 A   = . 令  = ( , , ) , x x x 1 2 n  则 A   = 0 . 于是有 0 0              = = = = = ( ) ( ) ( ) A A A A     因为   0. 故 1 2 2 n 0, n  = + + +  x x x x x x 所以 0, 0 0    = R. 设 A 为 n 级实对称矩阵，定义 n R 上的线性变换 A 如下： 1 2 , ( , , , ) n AX AX X x x x R n = =  （1） 显然 A 在标准正交基 1 2   = = (1,0, ,0) , (0,1,0, ,0) , ,(0,0, ,1)    （2）