子空间的和是直和，有限维子空间的正交补的唯一性与构成。 教学重点：子空间与子空间正交、子空间的正交补的概念，正交补的唯一性与构成。 教学方法：讲授法 教学过程 定义10设儿，是欧氏空间V的两个子空间若对a∈Y,a,∈乃都有(a,a,)=0,则称V与 正交，记为K⊥2.若向量a满足：VBe儿，(a,)=0,则称a与子空间匕正交记为a⊥ 因为a⊥a台a=0,故⊥3时∩={0，a∈V,且a⊥时a=0. 定理5若子空间，.，'两两正交，则+2++是直和 证明 设a∈，i=l,2,.,s,且a%+%+.+g,=0,则 (a,a,）=(a,4+a42++a)=(a,0)=0 于是g=0,i=1,2,s.故++.+是直和 定义1子空间称为子空间，的一个正交补，如果⊥？，并且V=+ 显然乃2是的直交补，则也是匕的正交补 定理6欧氏空间V的每个子空间都有唯一的正交补 证明若匕={0).则V就是唯一的正交补设K≠{O).则r对V的内积也作成欧氏空间任 取的一组正交基，G,.,E,将其扩充为V的一组正交基G,2,.,Em,Em.,En,则 2=L(6+,.,6n),显然是的正交补 现在证明唯一性设了，了均为的正交补，则 V=Y⊕K,V=y⊕3 令a∈V,.由第二个等式有 a=a1+a3,41∈'，a3∈' 子空间的和是直和，有限维子空间的正交补的唯一性与构成。 教学重点: 子空间与子空间正交、子空间的正交补的概念，正交补的唯一性与构成。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义10设 1 2 V V, 是欧氏空间 V 的两个子空间.若对 1 2 2      V V , 都有 1 2 ( , ) 0,   = 则称 V V 1 2 与 正交，记为 1 2 V V ⊥ . 若向量  满足： 1   =    V ,( , ) 0 ，则称  与子空间 V1 正交.记为 1  ⊥V . 因为    ⊥  = 0, 故 V V 1 2 ⊥ 时 V V V 1 2 1 =  0 ,   ，且  ⊥V1 时  = 0. 定理 5 若子空间 1 , , V Vs 两两正交，则 V V V 1 2 + + + s 是直和. 证明 设 , 1,2, , i i  = V i s ，且 1 2 0    + + + = s ，则 1 2 ( , ) ( , ) ( ,0) 0        i i i s i = + + + = = 于是 0, 1,2, , i  = =i s.故 V V V 1 2 + + + s 是直和. 定义 11 子空间 V1 称为子空间 V2 的一个正交补，如果 V V 1 2 ⊥ ，并且 1 2 V V V = + . 显然.V2 是 V1 的直交补，则 V1 也是 V2 的正交补. 定理 6 欧氏空间 V 的每个子空间 V1 都有唯一的正交补. 证明 若 V1 =0.则 V 就是 V1 唯一的正交补.设 V1  0 .  则 V1 对 V 的内积也作成欧氏空间.任 取 V1 的 一 组 正 交基 ， 1 , , , m   将其扩充为 V 的一组正交基 1 2 1 , , , , , , , m m n      + ， 则 2 1 ( , , ) V L m n   = + ，显然是 V1 的正交补. 现在证明唯一性.设 2 3 V V, 均为 V1 的正交补，则 1 2 1 3 V V V V V V =  =  , . 令  V2 .由第二个等式有 1 3 1 1 3 3      = +   , , . V V