下的矩阵就是A, 引理2设A是实对称矩阵，A的定义如上，则对Va,B∈R"有 (Aa,B)=(a,AB). (3) 或BAa=a'AB 证明因为 B(Aa)=BA'a=(ABY'a=a'(AB) 所以(3)式成立 定义12欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换 引理3设A是对称变换，了是A一子空间，则也是A一子空间 证明 设a∈.则对VBeY,ABe.因为a⊥V,故(a,AB)=0,因此 (Aa,B)=(a,AB)=0,即Aa⊥，4a∈，也是A一子空间 引理4设A是实对称矩阵，则R”中属于A的不同特征值的特征向量必正交 证明设,是A的两个不同特征值，《，B分别是属于元，4的特征向量： Aa=1a.AB=B.定义线性变换A如(1)，于是 Aa=ia,AB=uB. 由(Aa,B)=(a,Ap)有 A(a,)=(a,B) 因为元≠u所以(a,B)=0,即a,B正交 定理7对于任意一个n级实对称矩阵A.都存在一个n级正交矩阵T,使TAT=T一AT成对角 形 证明 由实对称矩阵与对称变换的关系，只要证明任意n维欧氏空间中的对称变换A有n个特 征向量作成标准正交基对空间的维数n作归纳法.n=1时定理显然成立.设n-1对结论成立，现在看 1 的维数为川的情形设4是1的属于实特征值人的特征向量，令写一☑4，则6是华位向量。 令V是L(8)的正交补，则由引理3，Y是A的不变子空间，dim=n-1,又A也满足(3)， 仍是对称变换，由归纳假设，4化有n-1个特征向量62,6，6n作成Y的标准正交基于是6，.，6。 下的矩阵就是 A . 引理 2 设 A 是实对称矩阵， A 的定义如上，则对 , n     R 有 ( , ) ( , ). A A     = （3） 或       A A = . 证明.因为            ( ) ( ) ( ) A A AB AB = = = 所以（3）式成立. 定义 12 欧氏空间中满足等式（3）的线性变换称为对称变换. 引理 3 设 A 是对称变换， V1 是 A —子空间，则 V1 ⊥ 也是 A —子空间. 证 明 设 1  V . ⊥  则 对 1 1      V A V , . 因 为 1  ⊥V , 故 ( , ) 0,  A = ，因此 ( , ) ( , ) 0, A A     = = 即 1 1 1 A V A V V   , , ⊥ ⊥ ⊥  也是 A —子空间. 引理 4 设 A 是实对称矩阵，则 n R 中属于 A 的不同特征值的特征向量必正交. 证 明 设  , 是 A 的 两 个 不 同 特 征 值 ，  , 分别是属于  , 的特征向量： A A     = = . . 定义线性变换 A 如（1），于是 A A     = = , . 由 ( , ) ( , ) A A     = 有       ( , ) ( , ) = 因为    所以 ( , ) 0,   = 即  , 正交. 定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A .都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 1 T AT T AT −  = 成对角 形. 证明 由实对称矩阵与对称变换的关系，只要证明任意 n 维欧氏空间中的对称变换 A 有 n 个特 征向量作成标准正交基.对空间的维数 n 作归纳法. n =1 时定理显然成立.设 n−1 对结论成立，现在看 的维数为 n 的情形.设 1 V 是 A 的属于实特征值 1 的特征向量，令 1 1 1 1   ,  =  则 1  是单位向量， 令 V1 是 1 L( )  的正交补，则由引理 3，V1 是 A 的不变子空间， 1 dim 1 V n = − ，又 AV1 也满足（3）， 仍是对称变换，由归纳假设，AV1 有 n−1个特征向量 2 3 , , , n    作成V1 的标准正交基.于是 1 , , n  