是V的标准正交基，并且是-A的n个特征向量 下面讨论正交矩阵T的求法， 是R的标准正交基，它们都是A的特征向量，显然，由6，.，6，到，.，的过渡矩阵T=(,) 是一个正交矩库，而TAT=TAT就是对角形矩阵由此可知求T可按下述步骤进行： 1.求出A的全部互异特征值， 2.对每个入，解齐次线性方程组 (E-A0X=0,X=(x,.,x 求出一个基础解系它是'的一组基，按定理2的方法求出2的标准正交基1，.， 3.因，.，互不相同由引理4,1，.，几，.，1，.，k还是两两正交的又由定理7以及 第七章$5的讨论，它们的个数等于空间的维数，因而构成R的一组标准正交基，并且 它们都是A的特征向量于是T=(们1，.，nk,.,n1,k.)即为所求 例已知 (011-1 1- 10-11 1-101 -1110 求正交矩阵T使TAT成对角形 解 先求A的特征值由 2-1-11 1-1001) (1001) E-A= -121-1 -12-10-1 -11元-1 0 0-1-1 a-10-1 =(-1)(+3) 001-1 、1-1-1 0 -1-12 (011 即得A的特征值为1（三重），-3. 其次，求属于1的特征向量.把2=1代入是 V 的标准正交基，并且是 −A 的 n 个特征向量. 下面讨论正交矩阵 T 的求法，设 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , . n n n n n nn t t t t t t t t t                      = = =                     是 n R 的标准正交基，它们都是 A 的特征向量，显然，由 1 , , n   到 1 , ,  n 的过渡矩阵 ( ) T t = ij n n 是一个正交矩阵，而 1 T AT T AT − =  就是对角形矩阵.由此可知.求 T 可按下述步骤进行： 1. 求出 A 的全部互异特征值 1 , , .  r 2. 对每个 i 解齐次线性方程组 1 2 ( ) 0, ( , , , ) , i n E A X X x x x − = =  求出一个基础解系.它是 i V 的一组基，按定理 2 的方法求出 i V 的标准正交基 1 , , i   i ik . 3. 因 1 , , .  r 互不相同.由引理 4， 1 11 1 , , , , , , r     ik r ik 还是两两正交的.又由定理 7 以及 第七章§5 的讨论，它们的个数等于空间的维数，因而构成 n R 的一组标准正交基，并且 它们都是 A 的特征向量.于是 1 11 1 ( , , , , , , ) r T =     ik r ik 即为所求. 例 已知 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A   −   −   =   −     − 求正交矩阵 T 使 T AT  成对角形. 解 先求 A 的特征值.由 3 3 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ( 1) ( 1) ( 3) 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 E A                       − − −       − − − − − −       − = = = − = − +       − − − − −             − − − − 即得 A 的特征值为 1( ), 3. 三重 − 其次，求属于 1 的特征向量.把  =1 代入