EA=B,其中B为 Hermite标准形定义中给出的形状 (2)选取置换矩阵 P的第列为e;,即该列向量除第j个元素为1外,其 余元素全为零(i=1,2,…,r); 2其它(n-r)列只需确保P为置换矩阵即可(P的每 行,每一列均只有一个非零元素,且为1) 3用P右乘任何矩阵(可乘性得到满足时),即可得该矩 阵的第i列置换到新矩阵(即乘积矩阵)的第i列 令P=CP,即-[-]∈C (3)令G=B的前r行∈Cr,F=AP1∈Cm则A=FG G 证明:EA=B= 0 A=E-B=F I 0/FG 则F∈Cm,G∈C,G已知,但F=?,当然可以通过 求出E,E1再将E-1分块得到,但这样G就没必要采用 Hermite标准形形式,注意到B=/ 则 AP=E-BP=F =F证毕 例1A=021-1求其满秩分解 1021 解:(1)首先求出A的秩。显然,前两列互相独立,而第三行可由第 行减去第二行得到,故r=2。 (2进行初等变换将A化为 Hermite标准型。EA B= ，其中 B 为 Hermite 标准形定义中给出的形状； （2）选取置换矩阵  1 P 的第 i 列为 i j e ，即该列向量除第 i j 个元素为 1 外，其 余元素全为零 (i 1,2,...,r) = ；  2 其它 (n r) − 列只需确保 P 为置换矩阵即可（ P 的每一 行，每一列均只有一个非零元素，且为 1）；  3 用 P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩 阵的第 i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第 i 列  4 令 P | * 1 P r (n r)     = 列 − 列 ，即 1 2 r n r 1 j j j r n r P e e ...e C   =      （3）令 G B= 的前 r 行 r n C   r ， m r F AP C 1 r  =  则 A FG = 证明： G EA B O   = =     ，   1 G A E B F | S FG O −   = = =     则 m r F Cr   ， r n G Cr   ，G 已知，但 F ? = ，当然可以通过 求出 1 E,E− 再将 1 E − 分块得到，但这样 G 就没必要采用 Hermite 标 准 形 形 式 ， 注 意 到 r 1 I BP O   =     ， 则   1 r 1 1 I AP E BP F | S F O −   = = =     证毕 例 1 1 2 3 0 A 0 2 1 1 1 0 2 1     = −       求其满秩分解 解：（1）首先求出 A 的秩。显然，前两列互相独立，而第三行可由第 一行减去第二行得到，故 r 2 = 。 (2)进行初等变换将 A 化为 Hermite 标准型