Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chapter 1 Compl A=2=.0时,若极限lnf(=0+4)-/=具 有同一有限值,则称函数f(x)在点二0可导,称此极 限值为f()在=的导数,记为/(=)或( 注意:*与A2→0的方式无关 求导f(x)最多有两个方向,而v()可有∞多个方向。 *O(x,y)/ax是偏导,d(x+)/d是全导。 (5)复变函数可导的必要条件一 Cauchy- Riemann(C-R)条件: 设f()=(x,y)+n(x,y)在 二0=x+0点可导,则v(x,y),(x,y)在(x0,y)处必定满足 Ou(x,y) av(x, y) (x,y) (x0,) 证明:f(x)=u(x,y)+n(x,y)在〓0=x+仍点可导,根据定义, f(=0+△)-f(=0) 存在,并且与z→z0的路径无关 下面选择两个特殊路径 首先沿平行于实轴的直线(即y=y为常数), 二=x+0,A=A ln(=n+A)-/(= =mn[(x+4)-a(x)+x+Ax,) Ax △x x,] 然后沿平行于虚轴的直线(即x=x为常数),Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 9 z  z  z0  0 时，若极限   z f z z f z z       0 0 0 ( ) lim 具 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 0 z 可导，称此极 限值为 f (z) 在 0 z 的导数，记为 ( ) 0 f  z 或 0 d d ( ) z z z f z  . 注意:* 与  z 0 的方式无关; **求导 f x'( ) 最多有两个方向，而 w z'( ) 可有  多个方向。 ***   u x y x ( , )/ 是偏导，df x iy dz ( )/  是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f (z)  u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z  x  iy 点可导，则 u(x, y) , v(x, y) 在   0 0 x , y 处必定满足                               ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y . 证明： f (z)  u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z  x  iy 点可导,根据定义，   z f z z f z z       0 0 0 ( ) lim 存在，并且与 0 z  z 的路径无关。 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 0 y y  为常数）， 0 z  x  iy ,z  x ,           ; ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x z x v x y i x u x y x v x x y v x y i x u x x y u x y z f z z f z                               然后沿平行于虚轴的直线（即 0 x x  为常数）