xo ti lim =lim xo: Jo+Ay)-uoo (xn,y+△y)-v(x0,yo av 既然f()在二0点可导,那么上面两个极限应相等,于是 Ou(x, y) av(x, y) 简记为 「oa(x,y)__an(x,y) v.=-l Cauchy-Riemann条件不充分,例如:f(={0 在z=0附近 我们有l=x2y2(x2+y4),v=xy3x2+y)[显然f()=0(二=0)的定义多余J。 虽然l1=",=0,V=-,=0.这不是固定点的导数,而是严格意义下的 f"lxo.x=0:f(-)=8(x,y)=2(x2+y) f(0)=1(x+△)g(xy)+8Ax+g,4y+…}-3g(x,y) m0(xy+x84+…)=0 ,的(”y+p=因此,二=0附近f()不可导! (6)复变函数可导的充要条件:f(=)=l(x,y)+n(x,y)在 二0=x0+y0点可导的充要条件是 a)u(x,y),v(x,y)在(x0,y)处具有一阶偏导数且满足C-R条件一必要条件 b)u(x,y),v(x,y)在(xa,y0)处具有一阶连续偏导数且满足C-R条件一充分条件 证明:假设v(x,y),(x,y)在(xny0)处具有一阶连续偏导数,因此(x,y), v(x,y)在(x0,y0)处可微,即Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 10 z  x  iy 0 ,z  iy ,           . ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y y z y v x y y u x y i i y v x y y v x y i i y u x y y u x y z f z z f z                                既然 f (z) 在 0 z 点可导,那么上面两个极限应相等,于是                               ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y 简记为 x y x y u v v u    . Cauchy-Riemann 条件不充分，例如：  2 2 4 0 ( 0) /( ) ( 0) ( ) . z xy z x y z f z     在 z  0 附近， 我们有 2 2 2 4 3 2 4 u x y x y v xy x y     /( ) /( ) , [显然 f z z ( ) 0 ( 0)   的定义多余]。 虽 然 0, 0. x y x y u v v u      这不是 固 定 点 的 导 数 ， 而 是 严 格 意 义 下 的 0, 0 ' | 0 : x y f      2 2 4 f z zg x y zxy x y ( ) ( , ) / ( ).    ' ' 0 ' ' , 0 ( )[ ( , ) ] ( , ) '(0) lim lim [ ( , ) ( )] 0. x y z x y x y z z g x y g x g y zg x y f z z z g x y g x g y z                        而 2 4 4 4 ( ) 0 1 '(0) lim . x y z 2 y f   y y    因此， z  0 附近 f z( ) 不可导！ (6) 复变函数 可 导 的 充 要 条 件 ： f (z)  u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z  x  iy 点可导的充要条件是: a) u(x, y), v(x, y) 在   0 0 x , y 处具有一阶偏导数且满足 C-R 条件—必要条件; b) u(x, y), v(x, y) 在   0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数且满足 C-R 条件—充分条件. 证明：假设 u(x, y) , v(x, y) 在   0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数，因此 u(x, y) , v(x, y) 在   0 0 x , y 处可微，即