证反证法：假设f(x)在[0，山上有两个零点x,x2∈[0，](x1<x2),则f(x)=f(x2)=0, 从而f(x)在[x,x]上满足罗尔定理，故存在5∈(x,x2)c0,1使得f"(5)=C,这与 x∈(0,1)f对月3(-d相矛盾，所以多项式f(x)=x3-3x+a在[0，]上不可能有两个零 点. 3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0,f(b)=0,证明：至少存在一点 5∈(a,b),使得f()+f'(5)=0. 证构造辅助函数F(x)=f(x),则F(a)=Fb)0,故F(x)在[a,b]上满足罗尔定理中值 定理的条件，从而存在∈(a,b),使得F'(5)=0,即f(5)+f'(5)=0·. 4.求下列极限 (1)lim tanx-x 0x-sinx e= )1m(2-x)-受： ④limn- n+ - 解(1)1im tanx-x=lim secx-1 tanx =2: =lim -sIn12 117 x-ln(1+x) (2)lim =lim x-In(1+x)=lim In(1+x)x xIn(1+x) 0x2 1、1 =lim1+x=lim于 11 0 2X x02(1+x)21 lim in(2x)lim- 2-x m(2-x号=eu-=e号=e号 2=e: x-0 n lim e* -lnl++1 、]=e.lim -(1+x)ln1+x)+x x→0 x2x(1+x) x-→0 x2(1+x) 1414 证 反证法：假设 f x( ) 在 [0,1] 上有两个零点 1 2 1 2 x x x x , [0,1] ( )   ，则 1 2 f x f x ( ) ( ) 0   ， 从 而 f x( ) 在 1 2 [ , ] x x 上 满 足 罗 尔 定 理 ， 故 存 在 1 2    ( , ) [0,1] x x 使 得 f ( ) 0   ，这与 2      x f x x (0,1) , ( ) 3( 1) 0  相矛盾，所以多项式 f (x)  x  3x  a 3 在 [0,1] 上不可能有两个零 点． ⒊ 设 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f a( ) 0,  f b( ) 0  ，证明：至少存在一点  (a,b) ，使得 f ( )  f ( )  0 ． 证 构造辅助函数 F x xf x ( ) ( )  ，则 F a F b ( ) ( ) 0   ，故 F x( ) 在 [ , ] a b 上满足罗尔定理中值 定理的条件，从而存在  (a,b) ，使得 F( ) 0   ，即 f ( )  f ( )  0 ． 4．求下列极限 ⑴ 0 tan lim x sin x x  x x   ； ⑵        x  x x 1 ln(1 ) 1 lim 0 ； ⑶   tan 2 1 lim 2 x x x    ； ⑷ 1 lim n n n n e  n                  ． 解 (1) 2 2 0 0 0 2 tan sec 1 tan lim lim lim 2 sin 1 cos 1 2 x x x x x x x x x x x           ； (2) 2 0 0 0 1 1 ln(1 ) ln(1 ) lim lim lim ln(1 ) ln(1 ) x x x x x x x    x x x x x                0 0 1 1 1 1 1 lim lim x x 2 2(1 ) 2 x   x x       ； (3)       1 1 2 1 1 ln 2 2 lim lim lim tan ln 2 cot csc tan 2 2 2 2 2 2 1 lim 2 =e x x x x x x x x x x x x e e e                     ； ⑷   1 0 1 1 1 1 lim lim lim 1 n n x n n x e n n x e n e n x n                                    1 ln 1 2 2 0 0 ln(1 ) 1 (1 )ln(1 ) lim [ ] lim (1 ) (1 ) x x x x x x x x e e x x x x x                  