=e.lim -In(1+x)=e.lim -x 、 e r02x+3x2 02x+3x2 2 1+x .x>0 5. 讨论函数f(x) 在点x=0处的连续性， e 3 .x≤0 解im n)=-lim 1.In n+y-m上n+-= lIn(+x)-1 x+0 e x→0XX x-0 1 1 n In(1+x)-x=lim1+x=lim lim -11 r→0 x02x2x01+x2 ∴limf(x)=lime=e2=f(0).故函数f(x)在x=0点连续. x2xx>0 6.设f(x)= x+2x≤0'求/)的极值。 解当x>0时，令fx)=(e2iy=x之.2lnx+10,得驻点x=；当x<0时，令 f"(x)=1,无解：又1imf(x)=lim(x+2)=2=f(0),1imf(x)=limx2x-1,则x=0为间 x-0 01 30 断点.列表 (-0,0) 0 0, y'(x) >0 <0 >0 极大 极小 y 度 值 故极大值f0)=2,极小值f白=e2. .已知函数了)具有二阶导数，且mf=0,f0=0,证明：在区间(O,)内至少 存在一点，使得f"(E)=0. 解由于1m/②-0，所以m闪)=(0)=0=f0,故由罗尔定理知，至少存在一 x→0X 点5e0,)使得了(5)=0.又了(0)=im)-0)=m因-0，则由罗尔定理知存在 x0 x-0 x→0X 1515 2 2 0 0 ln(1 ) lim lim 2 3 3 2 1 x x 2 x x e x x e e x x                ． 5．讨论函数   1 1 1 2 1 , 0 ( ) , 0 x x x x f x e e x                        在点 x  0 处的连续性． 解       1 0 0 0 0 1 ln 1 1 1 1 1 1 lim ln ( ) lim ln lim [ ln 1 1] lim x x x x x x x x f x x     x e x x x           2 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 1 1 1 lim lim lim x x x 2 2 1 2 x x x    x x x            ， 1 ln ( ) 2 0 0 lim ( ) lim (0) f x x x f x e e f        ．故函数 f x( ) 在 x  0 点连续． 6．设      2 ( ) 2 x x f x x 0 0   x x ，求 f (x) 的极值． 解 当 x  0 时，令 2 ln 2 ( ) ( ) 2(ln 1) 0 x x x f x e x x        ，得驻点 1 x e  ；当 x  0 时，令 f x ( ) 1  ，无解； 又 0 0 lim ( ) lim( 2) 2 (0) x x f x x f         ， 2 0 0 lim ( ) lim 1 x x x f x x       ，则 x  0 为间 断点．列表 x ( , 0)  0 1 (0, ) e 1 e 1 ( , ) e  y x ( )  0  0  0 y 极大 值 极小 值 故极大值 f (0)  2 ，极小值 2 1 ( ) e f e e  ． 7．已知函数 f（x）具有二阶导数，且   lim 0, 1 0 0    f x f x x ，证明：在区间 (0,1) 内至少 存在一点  ，使得 f    0 . 解 由于   0 lim 0 x f x  x  ，所以     0 lim 0 0 (1) x f x f f     ，故由罗尔定理知，至少存在一 点 1  (0,1) 使得 f 1 =0 ．又       0 0 (0) 0 = lim = lim 0 x x 0 f x f f x f   x x     ，则由罗尔定理知存在