大学酸学实 三种辑值力油小繪 三次禅辑值确4个系歙哪增加2个套件 拉格朗日插值〔高次多项式插值) 4)S"(x0)=S"(xn)=0(自然边界条件) 曲线光滑;误差估计有表达式;收敛性 不能保证(振荡现急) 2)3)4)→a1,b;,c1,d1→S(x) 用子论分析,安尾文不大。 limS(x)=g(x) ·分段线性和三次样条插值(低次多项式插值): 思考1)自然边界条件的几何意义是什么? 曲线不光滑(三次样条插值已大有改进);误差估 计较难(对三次样条插值);收敛性有保证 2)样条插值为什么普遍用3次多项式, 单用,用广促, 而不是2或4次? 用 MATLAB作插值计算 用 MATLAB作插值计算 1.拉格朗日插值:自编程序如名为1agx,m的M文件, 以g(+,-5≤x≤5为例,作三种插值的比较 第一行为 function y=1agr(x0,y0,x) 010M1品 输入:节点x0,y0,插值点x(均为数组,长度自定义)) 用n=11个节 0.50000.80000.84340.75000.82 输出:播值y(与x同长度数组) 点,m=21个1000.50000.50000.50000.5000 应用时输入x0,y0,x后,运行y=1agx(x0,y 插值点,三 种方法作插 2.00000.2000 分段线性插值:已有程序y= interp1(x0,y0,x) 值,画图。 0.15000.1401 3.00000.1000 0.10000.1000 3.三次样条插值:已有程序y= interp1(x0,y0,x,'sp1ine") 或y=sp1ine(x0,yo,x) 4.00000.05880.05880.05880.0588 注:1agxm程序可参考课本 hazel 4.50000.04711.57870.04860.0484 5.00000.03850.0385003850.0385 (学酸学实) 插值的应用 数控机床加工零件 人值为什么要作死学x 表1间隔02的加如工坐标x(图1右半部的数据) ·积分是重要的数学工具,是微分方程、概率 D0s0024710443106368083051 1025012205141691614018118 论等的基础;在实际问题中有直接应用。 2010028414074260644m5的数 ·许多函数“积不出来”,只能用数值方法,如 模型将图1逆时针方向转90度,轮廓线上下 加工时警要x每对称,只需对上半部计算一个函数在插值点 改变0.05时的y值的值 对于用离散数据或者图形表示的函数, 计算积分只有求助于数值方法3 4) S ′′( x0 ) = S ′′( xn ) = 0 (自然边界条件） 2 ) 3 ) 4 ) a , b , c , d S ( x ) ⇒ i i i i ⇒ 三次样条插值确定4n个系数需增加 2个条件 思考 1）自然边界条件的几何意义是什么？ 2）样条插值为什么普遍用3次多项式， 而不是2或4次？ 三次样条 插值 limS(x) g(x). n = →∞ 三种插值方法小结 • 拉格朗日插值（高次多项式插值）： 曲线光滑；误差估计有表达式；收敛性 不能保证（振荡现象）。 用于理论分析，实际意义不大。 • 分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）： 曲线不光滑（三次样条插值已大有改进）；误差估 计较难（对三次样条插值）；收敛性有保证。 简单实用，应用广泛。 1. 拉格朗日插值:自编程序,如名为 lagr.m 的M文件， 第一行为 function y=lagr(x0,y0,x) 输入:节点x0,y0, 插值点x (均为数组，长度自定义)）； 输出:插值y (与x同长度数组)）。 应用时输入x0,y0,x后,运行 y=lagr(x0,y0,x) 2. 分段线性插值:已有程序 y=interp1(x0,y0,x) 3. 三次样条插值:已有程序 y=interp1(x0,y0,x,’spline’) 或 y=spline(x0,y0,x) 用MATLAB作插值计算 注：lagr.m 程序可参考课本； MATLAB有样条工具箱（Spline Toolbox） 用MATLAB作插值计算 , 5 5 1 1 ( ) 2 − ≤ ≤ + = x x 以 g x 为例，作三种插值的比较 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385 x y y1 y2 y3 用n=11个节 点，m=21个 插值点，三 种方法作插 值，画图。 Matlab.lnk chazhi1 插值的应用 加工时需要x每 改变0.05时的y值 MATLAB 5.3.lnk chazhi2 图1 零件的轮廓线 （x间隔0.2） 表1 x间隔0.2的加工坐标x,y（图1右半部的数据） 数控机床加工零件 2.0,1.00 2.2,0.86 2.4,0.74 2.6,0.64 ……… 1.0,2.50 1.2,2.05 1.4,1.69 1.6,1.40 1.8,1.18 0.0,5.00 0.2,4.71 0.4,4.31 0.6,3.68 0.8,3.05 模型 将图1逆时针方向转90度，轮廓线上下 对称，只需对上半部计算一个函数在插值点 的值。 图2 逆时针方向转90度的结果 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 u 令 v v=x, u= -y 为什么要作数值积分 • 许多函数“积不出来”,只能用数值方法，如 dx x x e dx b a b a x ∫ ∫ − sin , 2 2 • 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。 • 对于用离散数据或者图形表示的函数， 计算积分只有求助于数值方法。 数值 积分