三种值 L(x)=a,r"+a-x+.+ax+ao 1.2误差估计 三种插 方油11拉格朗日播值多项式XA=Y(2) Ln(x)=∑y(x)(3) B()=g(3-4(=(m+71(-xe(cb l(x)= x-x)…(x-xx-x4)…(x-x) (-x)=0,n 8(5)sMalE /R,(x) s Mn+L[Tl (x-x)(x-x2 1(x1)=10.1≠j Ln(xj)=yj基函数 如何使误差|(x)减小(粗略地看) 平缓n增加 又(2)有唯一解,故(3)与(1)相同 1.3拉格朗日插值多项式的振荡 三种2.分欺能性 想n个→L,(x)?=|R,(x)↓ 5≤x≤5 取n=2,4,6,.8,10,计 算L(x),画出图形 ,x15x≤x,计算量与n无关 n越大,误差越小 liml(x)=g(x),x≤x≤xn Runge现象 lim L(x)=g(x),-363≤x≤363 (学静学实鉴 (大学数学实验) 3.三次样条插值 3.三次禅杂值[教学样条( spline)]「种 样条函数的由来 S(x)={s(x),x∈[x,x],i=1…n D)s(x)=ax+b 2)S(x)=y(=01,…n)4n个待定系数 3)S(x)∈CIx0,xn a1;b1,C;,d 细木条:样条 S;(x1)=S1+1(x1),s(x1)=s1+1(x) s:(x1)=s+1(x)(=1n-1) 飞机、船体、汽车外形等的放样(设计) 2),3’)共4n-2个方程2 1.1 拉格朗日插值多项式 i n x x x x x x x x x x x x x x x x l x i i i i i i n i i n i L L L L L , 0,1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 = − − − − − − − − = − + − + ( ) ( ) (3) 0 L x y l x i n i n ∑ i = = i j n j j L x y i j i j l x ∴ = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = ( ) 0, 1, Q ( ) 又（2）有唯一解，故（3）与（1）相同。 基函数 ( ) i l x ( ) (1) 1 0 1 1 L x a x a x a x a n n n n = n + + + + − − L XA=Y (2) 三种插值 方法 ( ), ( , ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) x x a b n g R x g x L x n j j n n n − ∈ + = − = ∏= + ξ ξ 1 ( 1) ( ) + + ≤ n n g ξ M 如何使误差 Rn ( x) 减小（粗略地看） x 接近 x j g 平缓 ∏= + − + ≤ n j j n n x x n M R x 0 1 ( 1)! ( ) 三种插值 方法 1.2 误差估计 n增加 1.3 拉格朗日插值多项式的振荡 n ↑ ⇒ L ( x) ? ⇒ R ( x) ↓ ? n n , 5 5 1 1 ( ) 2 − ≤ ≤ + = x x g x lim ( ) = ( ), −3.63≤ ≤ 3.63 →∞ L x g x x n n Runge现象 取n=2,4,6,8,10,计 算Ln(x), 画出图形 - 5 0 5 -1.5 - 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y = 1/(1 + x 2 ) n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 三种插值 方法 Matlab.lnk Runge.m 2.分段线性插值 • • • • • • xj xj-1 xj+1 x0 xn ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − = = + + + − − − = ∑ 0 , 其它 , , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 j j j j j j j j j j j n j n j j x x x x x x x x x x x x x x l x I x y l x 计算量与n无关; n越大，误差越小. n n n I x = g x x ≤ x ≤ x →∞ 0 lim ( ) ( ), 三种插值 方法 机翼下轮廓 线 3. 三次样条插值 样条函数的由来 飞机、船体、汽车外形等的放样（设计） 细木条：样条 3. 三次样条插值 ( ) { ( ), [ , ], 1, } S x = si x x∈ xi−1 xi i = Ln 3) ( ) [ , ] 2) ( ) ( 0,1, ) 1) ( ) ( 1, ) 0 2 3 2 n i i i i i i i S x C x x S x y i n s x a x b x c x d i n ∈ = = = + + + = L L 数学样条（spline） i i i di a b c n , , , 4 个待定系数 3） ( ) ( ) ( 1, 1) ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 1 ′′ = ′′ = − = ′ = ′ + + + s x s x i n s x s x s x s x i i i i i i i i i i i i 3’） 2），3’）共 4n-2个方程 三种插值 方法