大学静学实扮 款积分的基本路 少值积分1.从矩形公式到梯形公式 y=x)a=1<x1<…Ik<xn=b 回钇积分的宠文 fk= f(K) I=f()dx= lim In, In=>f(Ek) (1) 分大时J就是酌的数值积分 各种数值积分方法研究的是 (2) 5k如何取值,区间(a,b)如何划分, Ln,Rn平均,得到 使得既能保证一定精度,计算量又小 梯形公式Tn=b>+(6+1m)(3) 数值积分2.辛普森( Simpson)公式 少2.辛普森( Simpson)公式(抛物线公式) (抛物线公式) 用xx,x)(x1,4)、(x2x2,2x2)构造二次插值函数s(x) 梯形公式相当于用分段线性插值函数代替f(x) 提高精度]分段二次播值函数口魏物线 Sk(x)x=(2k+4/2k+1+/2k+2) 每段要用相邻两小区间 对k求和(共m段),得辛普森公式 端点的三个函数值 区间数必须为偶数n=2m a xx x+ IN+, b (xxf)(x,x)(x+2,f2) Sm=(+12m+4/2++2∑/众b-0(可 k=0,1…;m-1 学学实 形公T=b+;(+f)≈f(x)d f(x)d b∑r"(5,) 的惧计 I-T R(f,T。) f(x)d T 12」f(x) (f(b)-f'(a 梯形公式在每小段上是用线性插值函数x)代替f(x) 梯形公式 的误R(f,Tn)|≤ ∑|"(5 (x)=7(x)+/(0x-x)x-x1)xn∈(x,x1) 估计M2=maf'(x)x∈(a,b)因为m=a 因为:(xxk)(x-x在(xx4+1)不变号,所以: U()-T(xdr =/152 R(f,7)1,M2(b-a)(5)命梯形公式厂的 2](x-Xx+1)=-12f) 差是2阶的4 n b a I f x dx I I f n k n n k n b a − = ∫ = =∑= →∞ ( ) lim , ( ) 1 ξ 数值积分的基本思路 回忆定积分的定义 各种数值积分方法研究的是 ξ k 如何取值，区间 如何划分， (a,b) 使得既能保证一定精度，计算量又小。 n充分大时In就是I的数值积分 数值积分 1.从矩形公式到梯形公式 y y=f(x) b x o a (1 ) 1 0 ∑ − = = n k n k L h f , ( ) , 0 1 k k k n f f x n b a h a x x x x b = − = = < < L L < = ( 2 ) 1 ∑= = n k n k R h f Ln R n , 平均，得到 梯形公式 ( ) (3) 2 0 1 1 n n k n k f f h T = h∑f + + − = xk+1 x xk-1 k fk 2.辛普森(Simpson)公式 （抛物线公式） 梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x) 每段要用相邻两小区间 端点的三个函数值 抛物线 公式 提高精度 分段二次插值函数 2 2 21 21 22 22 ( , ),( , ),( , ) 0,1, , 1 kk k k k k xf x f x f k m ++ + + = − L 数值积分 y y=f(x) b x o a x2k f2k x2k+1 x2k+2 f2k+1 f2k+2 区间数必须为偶数 n = 2m (4) 2 ( 4 2 ), 3 1 1 2 1 0 0 2 2 1 m b a f f f f h h S m k k m k m m k − = + + ∑ + ∑ = − = − = + 对k求和(共m段)，得辛普森公式： ( 4 ) 3 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 = + + + + ∫ + k k k x x k f f f h s x dx k k 二次插值函数sk 用( , ),( , ),( , )构造 (x) 2k 2k 2k+1 2k+1 2k+2 2k+2 x f x f x f 2.辛普森(Simpson)公式（抛物线公式） ∫ = − b a n T n R ( f , T ) f ( x ) dx 梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x) ( )( ), , ( , ) 2 ( ) ( ) ( ) − − +1 ∈ +1 ′′ = + k k k k k k x x x x x x x f f x T x η η 梯形公式 的误差估计 ( ) 2 0 1 1 n n k n k f f h T = h∑ f + + − = ∫ ≈ b a f (x)dx ( ) 12 ( )( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] 3 1 1 1 k x x k k k x x f h x x x x dx f f x T x dx k k k k ξ ξ − − = − ′′ ′′ − = ∫ ∫ + + + 因为：(x-xk)(x-xk+1)在(xk,xk+1)不变号，所以： ( ) (5) 12 | ( , ) | 2 2 M b a h R f Tn ≤ − 即梯形公式Tn的 误差是h2阶的 max ( ) , ( , ) 2 估计 M = f ′′ x x∈ a b h b a n − 因为 = ∑ − = ≤ ′′ 1 0 3 ( ) 12 | ( , ) | n k n k f h R f T ξ 梯形公式 的误差 ( ' ( ) ' ( )) 12 1 ( ) 12 1 ( ) 12 ( ) ' ' 2 1 0 3 f x dx f b f a h I T f h I T f x dx T b a n n k k b a n n → − = − − − − = − = − ′′ ∫ ∫ ∑ − = ξ