大学酸学实 辛普森公式的误差估计 梯形公式和辛普森公式的收做性 同理可得 若对l某个数值积分有m n少0hPC(非零常数 R(f,S)M4(b-a)(6 则称l是p阶收敛的 180 →梯形公式2阶收斂,辛普森公式4阶收敢。 其中M4=ma|r(4(xxe(a,b) 即辛普森公式S的误差是h4阶的 积分步长的自动选取 高斯( Gauss)求积公式 选定敷值积分公式后,如何确定步长以满足给定的误差g 矩形公式(1)、(2 Akf(xk)(7) 梯形公式1-.-1(f(b)-f(a)b→%(→2n 梯形公式 1-7n=(1-T)口1-T2n≈3(72m-T 方法辛普森公式(4 是与关的常数 用二分法只要2n-则≤E曰|-2 设f(x)=x,用(计算 f(x)dx 且Tm可在Tn 基础上计算72n=2 n+∑f 若对于k=0,1,…m都有Jn=l, 其中f2是原分点xx+,的中点(记x+m2)的函数值 而当k=m+1,n≠1,则称J的代数精度为m (学静学实鉴 (大学数学实验) 梯形公式的代教精度(考察T1) 高斯公式的尾路 T=l(a)+f(b) b-a)(a+b) 取消对节点的限制,按照代教精度最大 的原则,同时确定节点x和系数A f(x)x 对于I f(x)dx构造求积公式 G2=A1f(x1)+A2f(x2)使G2的代数精度为3 f(x)=1x2,x3|fx)hk=4f(x1)+2f(x2) 梯形公式的代数精度为1辛普森公式的代数精度为3 确定x1,x2,A1,A25 同理可得： ( ) (6) 180 | ( , )| 4 4 M b a h R f Sn ≤ − 其中 max ( ) , ( , ) (4) M 4 = f x x ∈ a b 即辛普森公式Sn的误差是h4阶的。 辛普森公式的误差估计 梯形公式和辛普森公式的收敛性 若对I某个数值积分In有 c h I I p n n = − →∞ lim （非零常数） 则称 In是 p 阶收敛的。 梯形公式 2 阶收敛，辛普森公式 4 阶收敛。 积分步长的自动选取 选定数值积分公式后，如何确定步长h以满足给定的误差ε ( ( ) ( )) 12 ' ' 2 f b f a h 梯形公式 I − Tn ≈ − − ( ) 4 1 2 n Tn I − T ≈ I − − ≤ ε T2n Tn 用二分法只要 其中fk+1/2是原分点xk,xk+1的中点（记xk+1/2）的函数值 ∑ − = + = + 1 0 2 2 1 2 2 n k k n n f T h T 且T2n可在Tn 基础上计算 ( ) 3 1 T2 n T2 n Tn I − ≈ − − ≤ ε T n I 2 ( 2 ) 2 n n h h → → 高斯(Gauss)求积公式 矩形公式(1)、(2) 梯形公式(3) 辛普森公式(4) Ak是与f无关的常数 代数 精度 设 ( ) , k f x = x 用(7)计算 ( ) , ∫ = b a I f x dx 若对于 k = 0 ,1, L m 都有 I I, n = 而当 k m 1, I I, = + n ≠ 则称In的代数精度为m. ( ) (7) 1 ∑= = n k n k k I A f x Newton -Cotes 方法 梯形公式的代数精度（考察T1） k=1 f(x)=x 2 2 2 b a I xdx b a − = = ∫ 2 ( )( ) [ ( ) ( )] 2 1 b a a b f a f b h T − + = + = 3 3 3 2 b a I x dx b a − = = ∫ 2 ( )( ) 2 2 1 b a a b T − + = k=2 f(x)=x2 T = I 1 T ≠ I 1 梯形公式的代数精度为1 辛普森公式的代数精度为3 高斯公式的思路 取消对节点的限制，按照代数精度最大 的原则，同时确定节点xk和系数Ak 构造求积公式 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 G = A f x + A f x 对于 ∫− = 1 1 I f ( x ) dx 使G2的代数精度为3 2 3 f (x) =1, x, x , x ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 f x dx = A f x + A f x ∫− 确定 1 2 1 2 x , x , A , A