52常用统计分布 521x2分布 定义56设随机变量x1,X2,…,Xn独立同分布,且每个X;~N(O,1),则称随机变 X (5.15) 所服从的分布为自由度为n的x2分布,记为x2~x2(m)这里自由度n是表达式(515) 中独立变量的个数。随机变量xn2亦称为x2变量 定理54自由度为n的x2变量x2的分布密度为 p(x)={2I() 0 x≤0 其中r(2)是伽玛函数r()=x“cd在a=;处的值 x2分布具有下列性质 性质53E(x2)=n;D(x2)=2n (5.20) 证明由定义5.6得 E(x2)=E(∑x2)=∑E(x2)=∑[D(X1)+(E(X)]= 由于 TS D(x2)=E(X4)-(E(x2)2= dx-1=3-1=2 所以 2)=D∑X2)=∑D(X2) 性质54设X~x2(n),Y~x2(m),且X与Y相互独立,则 X+r-x(n+ (5.21) 性质55设z2~z2(n),则对任意x,有§5.2 常用统计分布 5.2.1 分布 2 χ 定义 5.6 设随机变量 独立同分布，且每个 ，则称随机变 量 X X X n , , , 1 2 " X ~ N(0,1) i (5.15) 2 2 2 2 1 2 χ n = X + X +"+ X n 所服从的分布为自由度为n 的 分布，记为 。这里自由度 是表达式(5.15) 2 χ ~ ( ) 2 2 n χ n χ n 中独立变量的个数。随机变量 χ n 2 亦称为 变量。 2 χ 定理 5.4 自由度为 n 的 变量 的分布密度为 2 χ 2 χ n ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = Γ − − 0 0 0 ) 2 2 ( 1 ( ) 1 2 2 2 x e x x n p x x n n (5.16) 其中 ) 2 ( n Γ 是伽玛函数 a x e dx 在 a x ∫ +∞ − − Γ = 0 1 ( ) 2 n a = 处的值。 分布具有下列性质： 2 χ 性质 5.3 E n ； (5.20) ( n ) = 2 χ D( n ) 2n 2 χ = 证明 由定义 5.6 得 E E X E X D X E X n n i i i n i n i n ∑ ∑ i i ∑ = = = = = = + = 1 2 1 1 2 2 2 (χ ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( )) ] 由于 1 3 1 2 2 ( ) ( ) ( ( )) 2 4 2 4 2 2 2 = − = − = − = +∞ − ∫−∞ e dx x D X E X E X x i i i π 所以 D D X D X n n i n i ( n ) ( i ) ( i ) 2 1 1 2 2 2 = ∑ ∑= = = = χ 性质 5.4 设 ~ ( ) ， ，且 2 X χ n ~ ( ) 2 Y χ m X 与Y 相互独立，则 ~ ( ) (5.21) 2 X + Y χ n + m 性质 5.5 设 χ n 2 ~ χ2 (n) ，则对任意 x ，有