lim Pi ≤x dt 证明由假设及定义56,x2可表示x2=∑X2,其中X,X2…X,独立且每 X1~N(0,1),因而X2,X2,…,X2独立同分布,且 u=E(X2)=1, =D(x)=2(=12,…,m) 由中心极限定理得 Xi lim ≤x}=limP dt no 该性质表明x2变量的极限分布是正态分布,即当n很大时 近似服从标准正态 分布N(0,1),进而x2近似服从正态分布N(n,2n)。 52.2t分布 定义57设X~N(O,1),y~x2(mn),且x与Y相互独立,则称随机变量 (5.22) 服从自由度为n的t分布,记为T~(m)。随机变量T亦称为t变量 分布具有下列性质: 性质56设~l(n),则当n>2时有 E(T)=0 n D(T) (5.24) 性质57设T~1(m),p()是T的分布密度,则 lim p(o) 此性质说明,当n→∞时,t分布的极限分布是标准正态分布 523F分布 定义5.8设X~x2(n1),y~x2(n2),且X与Y相互独立则称随机变量x e dt n n P t x n n 2 2 2 2 1 } 2 lim { − →∞ ∫−∞ ≤ = − π χ 证明 由假设及定义 5.6， 可表示 ，其中 独立且每 ，因而 ， ，…， 独立同分布，且 2 χ n ∑= = n i n Xi 1 2 2 χ X X X n , , , 1 2 " X ~ N(0,1) i 2 X1 2 X2 2 X n ( ) 1， 2 = i = def µ E X ( ) 2 2 = i = def σ D X (i = 1,2,", n) 由中心极限定理得 x e dt n X n x P n n P t x n i i n n n 1 2 2 2 2 2 1 lim 2 lim − −∞ = →∞ →∞ ∫ ∑ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − σ π µ χ 该性质表明 变量的极限分布是正态分布，即当 n 很大时， 2 χ n n n 2 2 χ − 近似服从标准正态 分布 N(0,1) ，进而 χ n 2 近似服从正态分布 N(n,2n) 。 5.2.2 t 分布 定义 5.7 设 X ~ N(0,1) ， ~ ( ) ，且 2 Y χ n X 与Y 相互独立，则称随机变量 Y n X T = (5.22) 服从自由度为 n 的t 分布，记为T ~ t(n) 。随机变量T 亦称为t 变量。 t 分布具有下列性质： 性质 5.6 设T ~ t(n) ，则当 n > 2 时有 E(T ) = 0 2 ( ) − = n n D T (5.24) 性质 5.7 设T ~ t(n) ， p(t) 是T 的分布密度，则 2 2 2 1 lim ( ) t n p t e − →∞ = π 此性质说明，当 n → ∞ 时，t 分布的极限分布是标准正态分布。 5.2.3 F 分布 定义 5.8 设 2 2 ~ ( 1 ), ~ ( ) 2 X χ n Y χ n , 且 X 与 Y 相互独立,则称随机变量