服从自由度为(n2n2)的F分布记为F~F(n1,n2)其中n1称为第一自由度,2称为第二自由 定理56自由度为(n,n2)F分布的分布密度为 TO n1+n2 0 p(x)={r(1 TO 2 0.x<0 例57已知T~l(mn),试证T2~F(1,n) 证明因为T~l(n),由定义57有 X 其中X~N(0,1,y~x2(n)且X与Y独立那么 由于X~2(1),y~x2(n)且X2与Y独立则由定义58有T2~F(1,n) F分布具有下列性质 性质58设F~F(mn12n2),则 (n2,n1) (527) 性质59设F~F(n1,n2),则 E(F) (n2>2)(528) D(F) n,(n,+n (n2>4) (529) 性质510设F~F(n1,n2),则当n2>4时,对任意x,有1 2 X F= Y n n 服从自由度为( )的F分布,记为 其中 称为第一自由度, 称为第二自由 度. 1 2 n ,n ~ ( 1 2 F F n ,n ). 1 n 2 n 定理 5.6 自由度为( n1,n2 )的 F 分布的分布密度为 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) (1 ) , 0 ( ) . ( ) ( ) 2 2 0, 0 n n n n n n n n x x x p x n n n n n x − + − ⎧ + Γ ⎪ ⎪ + > = ⎨Γ Γ ⎪ ⎪ ⎩ ≤ i 例 5.7 已知T t ~ (n), 试证 2 T F ~ (1,n). 证明:因为T t ~ (n), 由定义 5.7 有 Y n X T = 其中 2 X ~ ( N Y 0,1), ~ χ (n)且 X 与 Y 独立,那么 2 2 X T Y n = 由于 2 2 X ~ ( χ χ 1),Y n ~ ( ) 且 2 X 与 Y 独立,则由定义 5.8 有 2 T F ~ (1,n). F 分布具有下列性质： 性质 5.8 设 F ~ F(n1 ,n2 ) ，则 ~ ( , ) 1 F n2 n1 F (5.27) 性质 5.9 设 F ~ F(n1 ,n2 ) ，则 2 ( ) 2 2 − = n n E F ( 2) (5.28) n2 > ( 2) ( 4) 2 ( 2) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 − − + − = n n n n n n D F ( 4) (5.29) n2 > 性质 5.10 设 F ~ F(n1 ,n2 ) ，则当 n2 > 4时，对任意 x ，有