e=mfe=F Me=F2 ae= aFe=ae Me= MF 把e1=F" 所以,M=A (14分) (2)解:由(1),C(F)=pm{E,F,F2,…,Fm}, (16分) 设xE+xF+x2F2+…+xn1Fm=O,等式两边同右乘e,利用(*)得 8=0e=(xE+x, F+x,F+.+x-F)e xoEe,+xFe,+xFe,+ .e+xe+xe +...+x e (18分) 因e1e2e3…en线性无关,故,x0=x1=x2=…=xn1=0 (19分) 所以,E,F,F2,…,F线性无关因此,E,F,F2…,F是C(F)的基,特别地, dimC(F) (20分) 得分 (15分)假设V是复数域C上n维线性空间(n>0),f,g 评阅人 是V上的线性变换如果-8f=∫,证明:∫的特征值都是 迟出 0,且∫,g有公共特征向量 证明:假设λ是∫的特征值,W是相应的特征子空间,即 W={∈F|f(m)=m于是,W在∫下是不变的 (1分) 下面先证明,41=0任取非零n∈W,记m为使得n,g(m)g2(m)…,g"(n)线性相关的 最小的非负整数,于是,当0≤i≤m-1时,n,8(m),g(m)…,g(n)线性无关(2分) 0≤i≤m-1时令W=spm{,g(),g(m),…g(m)},其中,W={}因此,dmW (1≤i≤m),并且,Wn=Wm=Wn2=…显然,g(W)W1,特别地,W在g下 是不变的 (4分) 下面证明,W在∫下也是不变的事实上,由f(7)=3n,知 g(m)=gf(m)+f(m)=1g(7)+A3n (5分) 第3页(共6页)第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 22 2 2 M 3 1 1 1 13 e MF e F Me F Ae AF e Ae = = === """"" 11 1 1 1 111 nn n n M n n e MF e F Me F Ae AF e Ae −− − − = = === 所以，M = A. ………………………….. （14 分) （2）解： 由（1）， 2 1 () {, , , , } n C F span E F F F − = " ，………… （16 分) 设 2 1 012 1 n n x E xF xF x F O − + + ++ = " − ，等式两边同右乘 1e ，利用（*）得 2 1 10 1 2 1 1 ( ) n θ Oe x E x F x F x F e n − = = + + ++ " − 2 1 01 11 2 1 1 1 01 12 23 1 .........................(18 n n n n x Ee x Fe x F e x F e xe xe xe x e − − − = + + ++ = + + ++ " " 分） 因 123 ,,, , n eee e " 线性无关，故， 012 1 0 n xxx x = === = " − …………（19 分) 所以， 2 1 ,, , , n EFF F " − 线性无关.因此， 2 1 ,, , , n EFF F " − 是C F( ) 的基，特别地， dim ( ) CF n = . ……………………………（20 分) 三、（15 分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（n > 0 ），f , g 是V 上的线性变换.如果 fg gf f − = ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共特征向量. 证 明 ：假设 λ0 是 f 的特征值， W 是相应的特征子空间，即 W Vf =∈ = {η | () η λη0 }.于是，W 在 f 下是不变的. …………………………（1 分) 下面先证明，λ0 =0.任取非零η ∈W ，记m 为使得 2 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " 线性相关的 最小的非负整数，于是，当0 1 ≤ i m≤ − 时， 2 , ( ), ( ), , ( ) i η gg g ηη η " 线性无关…..（2 分) 0 1 ≤≤ − i m 时令 2 1 { , ( ), ( ), , ( )} i W span g g g i η ηη η − = " ,其中， 0 W = { }θ .因此，dimW i i = （1≤ ≤i m），并且，WW W mm m = + + 1 2 = =". 显然， 1 ( )i i gW W⊆ + ，特别地，Wm在 g 下 是不变的. ……………………………（4 分) 下面证明，Wm在 f 下也是不变的.事实上，由 0 f ( ) η = λ η ，知 0 0 fg gf f g () () () () η = η η λ η λη += + …………（5 分) 得 分 评阅人