高等数学教案 第七章微分方程 第四节一阶线性微分方程 教学内容：1、一阶线性微分方程的形式与解法： 2、伯努利方程的形式与解法 教学目标：1、掌握一阶线性微分方程的形式与解法： 2、掌握伯努利方程的形式与解法 教学重点：一阶线性微分方程的形式与解法 教学难点：伯努利方程的形式与解法 教学方法：理论课与习题课相结合 作业：P3151(3),(6),(9);2(5):6:*8(1),(3),(5) 教学过程： 一、线性方程： 1.一阶线性常数微分方程的定义： 形如y'+P(x)y=Q(x)(P(x),Q(x)为已知函数的微分方程称为一阶线性微分 方程。 当Q(x)=0时，方程y'+P(x)y=0称为一阶齐次线性微分方程： 当Q(x)≠0时，方程y'+P(x)y=Q(x)称为一阶非齐次线性微分方程。 2.一阶齐次线性微分方程y+P(x)y=0的解法：其是可分离变量的方程，因此可以 整理、积分得到通解。 例1求微分方程少 的通解。 V1-x 解：此方程是一阶齐次线性微分方程， 分离变量，得： y v1-x2 两边积分，得：ny=arcsin x+C, 所以，原方程的通解为：y=Cearsinx,(C是任意常数)。 3.一阶非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的解法： 拉格朗日(Lagrange)常数变易法求解。 具体做法： ①用分离变量法求对应的齐次线性微分方程y'+P(xy=0的通解：y=CeP ②常数变易(C(x)潜换C):设y=CeP达 为非齐次线性微分方程的解：