高等数学教案 第七章微分方程 ⑧将其代入方程y+Py=Q,得：C'(x)eP=Q(x),即： C'()=Q(xe,两边积分，得：C)=小Q(krk+C。并写出原方程 的通解为：-杰+Cka 一般解法步骤： 第一步：先求出对应的齐次方程的通解y=CeP() 第二步：根据所求的通解设出非齐次方程的解：y=C(P达 (常数变易)： 第三步：把所设解代入非齐次线性微分方程，解出C(x),并写出通 例2.解方程y'+y=ex。 解：此方程是一阶非齐次线性微分方程，用常数变易法。 该方程的对应齐次方程为y'+y=0,其通解是：y=Ce-。 常数变易：设y=C(x)是原方程的通解，代入原方程并化简，得：C(x)】=1, 两边积分，得：C(x)=x+C, 所以，原方程的通解为：y=(x+C)e. 例3.求边2 dx x+l 2=x+)2的通解。（学生课堂练习） 1 例4.求微分方程y'= 的通解。y'+P(x)y=Q(x) xcosy+sin 2y dx 解：原方程变形为： =xcosy+sin2y(*),此时可以把x看作y的函数， dy 显然它是一阶非齐次线性微分方程，对应的齐次方程为 =xcosy的通解： y x=Cesiny。 常数变易：设x=C(y)em'是方程(*)的解，代入方程(*)并化简得： C(y)=e-sim sin2y, 两边积分得：C(y)=-2(siny+1)e-m'+C, 所以原方程通解为：x=-2(siny+1)+Cem(C是任意常数)。 2