高等数学教案 第七章微分方程 二、伯努利方程： 1、伯努利方程的定义及其解法： 形如：y'+P(x)y=Q(x)y”的方程叫伯努里(Bernoul1i)方程。对于此方程： 当n=0或=1时，这是一阶线性方程（奇次或非奇次)，容易得到通解。 当n≠0或n≠1时，方程不是线性的，但是可以通过变量替换，化成线性的。 具体做法如下： 第一步：方程两端同时除以y'得：y少+P(x)y-"=Q(x)）(: d 第二步：引入新的未知函数z=y-,有止=0-my"少即：1.止=y d dx 1-n dx dx 第三步：将其代入(*)式整理得： +1-mP(xz=(-n0(: x 第四步：此方程是线性方程，求出通解后再用y-”替换z即得到伯努里方程的通解。 2、举例应用： 例5求方程少+上=any'的通解。 dx x 解：显然这是一伯努里方程， 方程两端同时除以y得y:少+二=a山， dx x 令2=y,则=（←1y2少，代入上式得到：也-三=-anx dx dx dx x 此线性方程的通解为：=C-仙 再用y换，得到原方程的通解：C-=1。 2 例6P313).解方程少=1 (学生课堂练习)。 dx x+v 三、本节小结： 这一节我们主要学习了求解线性方程和伯努里方程的方法，重点是用拉格朗日常数变易 法解一阶非齐次线性微分方程。 3