可得(4)=1。 (4)综上所述 n r(A)=n rA)= r(A)=n-1 0 r(A≤n-2 4)用有关结论求矩阵的秩 例8设n>2)阶非零实方阵A=(a)满足a=A,(j=1,2,…n),求r(4)。 解解法1因为a,=A且A≠0，不妨设ag≠0，由行列式的定义知 个=au4+a4a++a4n=2c>0 所以 r(A)=n 解法2由a=A,知A=AI,再由(4)=r(A)及 r()=n )= r(A)=n-1 0 r(A≤n-2 知n>2时，要使r(A)=A),且A≠0，只能r(A)=n。 [102 例9已知A为4×3阶矩阵，且(A)=2,B= 020 求r(AB)的值。 -103 「10 3> 解因为B= 020 为可逆阵，由结论知AB不改变A的秩，故 -103 (AB)=r(A)=2 5)用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例10设A为m×n实矩阵，证明A=r()。 证分析只要证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即n-r(A)=n-4',得r(4A)=(4). 设有x满足Ax=0,左乘AI得A'Ax=0,即x也是ATAx=0的解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn可得 ( ) 1 * r A = 。 （4） 综上所述 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 4）用有关结论求矩阵的秩 例 8 设 n(> 2) 阶非零实方阵 ( ) A = aij 满足 a A (i j n) ij = ij , = 1,2,L ，求 r(A)。 解 解法 1 因为 aij = Aij且A ¹ 0 ，不妨设 ¹ 0 kl a ，由行列式的定义知 0 1 2 = 1 1 + 2 2 + + = å > = n i A ak Ak ak Ak L aknAkn aki 所以 r(A) = n 解法 2 由 aij = Aij 知 T A = A * ，再由 r(A ) r(A) T = 及 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 知 n > 2 时，要使 ( ) ( ) * r A = r A ，且 A ¹ 0 ，只能 r(A) = n。 例 9 已知 A 为 4´3阶矩阵，且 r(A) = 2， ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 求 r(AB)的值。 解 因为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 为可逆阵，由结论知 AB 不改变 A 的秩，故 r(AB) = r(A) = 2 5）用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例 10 设 A 为 m´ n 实矩阵，证明 r(A A) r(A) T = 。 证 分析 只要证明线性方程组 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即 n r(A) n r(A A) T - = - ，得 r(A A) r(A) T = 。 设有 x 满足 Ax = 0，左乘 T A 得 A Ax = 0 T ，即 x 也是 A Ax = 0 T 的解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn