设有x满足ATAr=0,左乘xI得xT AT Ax=0,即(Ax)(Ax)=0,得Ax=0, 即x也是Ax=O的解。 综上所述Ar=0与AAx=0同解，故(4)=r(4'A)成立。 6)齐次线性方程组的求法 x1-X2-x3+x4=0 例11求齐次线性方程组x1-x2+x3-3x4=0的通解。 x1-x2-2x3+3x4=0 解解法1系数矩阵经过行初等变换得 1 -1-117[1-1-111 A=1-11-3 0 00 -2 由r()=2,n=4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 x1-x2-x4=0 x3-2x4=0 移项后得 X1=X2+x4 x3=2x4 令x2=11,x4=12得 「17 17 1 X= 0 %+ 2 12, 41,l3∈R 0 「17「1 1 0 其中 0 2 为齐次方程的一个基础解系。 解法2由解法1可知(A)=2。 -母]d--图 齐次方程的通解为 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn设有 x 满足 A Ax = 0 T ，左乘 T x 得 x A Ax = 0 T T ，即(Ax) (Ax) = 0, T 得 Ax = 0， 即 x 也是 Ax = 0的解。 综上所述 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解，故 r(A) r(A A) T = 成立。 6）齐次线性方程组的求法 例 11 求齐次线性方程组 ï î ï í ì - - + = - + - = - - + = 2 3 0 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 解法 1 系数矩阵经过行初等变换得 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - - - = 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 A 由 r(A) = 2, n = 4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 î í ì - = - - = 2 0 0 3 4 1 2 4 x x x x x 移项后得 î í ì = = + 3 4 1 2 4 x 2x x x x 令 2 1 4 2 x = t , x = t 得 x t t t t Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 2 1 2 , , 1 2 0 1 0 0 1 1 其中 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 2 0 1 , 0 0 1 1 为齐次方程的一个基础解系。 解法 2 由解法 1 可知 r(A) = 2。 令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 0 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 0 1 3 1 x x ；令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 1 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 2 2 3 1 x x 齐次方程的通解为 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn