29讲特征值与特征向量的进一步讨论 173 第29讲特征值与特征向量的 进一步讨论 设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在一个n维非零列向量x使关系式Ax=x成立 则称入为A的一个特征值,相应的非零列向量x称为A的属于入的特征向量关系式Ax Ax可等价地写成(A-AE)x=0(或(AE-A)x=0,方程组(A-AE)x=0存在非零解x 的充要条件是它的系数行列式1A-AEI=0称矩阵A-AE为A的特征矩阵,称行列式 1A-AE为A的特征多项式,称方程|A-AE|=0为A的特征方程,称特征方程|A λEI=0的根为A的特征根,A的特征根即A的特征值,A的特征值可能是实数,也可能是 复数 性质1如果x是A的属于特征值λ的特征向量,则x一定是非零向量,且对任意非零 常数k≠0,kx也是A的属于特征值λ的特征向量同一个特征值λ的特征向量x1,x2,…, xn的任意非零线性组合k1x1+k2x2+…+kx。仍是属于λ的特征向量 性质2属于不同特征值的特征向量线性无关 证对特征值的个数作数学归纳法由于特征向量是不为零的,所以单个的特征向量必 然线性无关,设属于k个不同特征值的特征向量线性无关.下面证明属于k+1个不同特征 值λ1,A2,…,A41的特征向量41,52,…,541必线性无关 设有关系式 a11+…+a5+at5+t=0 (29.1) 成立.(29.1)式两边乘以λ1得 a1A451+…+a4Ak154+a1A415t=0 (29.2) (29.1)式两边左乘A,得 a1A51+…+a4A5k+a1A5k1=0, (29.3) 即有 a1A151+…+ax5.+a.115n1=0 (29.4) (29.4)式-(29.2)式,得 (A1-1)51+…+a( (29.5) 根据归纳法假设,1,…,5线性无关,于是 (入4-A+1)=0, (29.6) 但已知A1,…,A4,λ,互不相等即入-An1≠0(i=1,2,…,k),所以 ,= =aA=0 这时(291)式变成a151=0,但≠0,所以ak=0,这就证明了引1,…,5线