174 线性代数重点难点30讲 性无关 根据归纳法原理,性质2得证 注意性质1说明属于一个特征值的特征向量有无穷多个,性质2说明一个特征向量不 可能同时属于不同特征值 性质3设λ是方阵A的特征值且x≠0,则矩阵A,A2,aA+bE,A",A1,A·分别 有特征值A+6x设x是A对应的特征向量,则x也是M,A +E,A”,A,A对应特征值A,2,a+b,X”,,A的持征向量 证只证明x是A4的持征值,A是A·的特征值其余读者自证 要证明A-x=3x,由条件Ax=x可知,A-Ax=Aax,即x=x(A2x).即Ax 1x.也就是说:1是A的特征值 11 由AAA·及A-1x=-x 474·x=1x,即有Ax= A的特征值为Ax是A的属于的特征向量 例1(1)设入=2是非奇异矩阵A的特征值,则矩阵(A2)有一特征值 (2)三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则B=2A3-3A2的特征值为 (3)设四阶方阵A满足M2E+A=0,AA=2E,1A1<0,求A·的一个特征值 解(1)由性质3知,当A有特征值x=2时,A2相应地有特征值x2=2=4;}A2有 特征的号=4=3号4)”有特征值1=(3)1=故应填 (2)当A有特征值λ=1,-1,2时,对应地,B有特征值2A3-3x2=-1,-5,4 (3)此题的关键步骤是:|2E+A|=|-√2E-A 2E+A|=0,而2E+A|=|(-1)(-2E-A)|=(-1)|-2E-A|= 2E-A|,|-√2E-A|=0.由此可知A=-2是A的一个特征值进而由性质3 知 1=11A A 分别是A-,A‘的特征值 因为AA=2E,所以|AAT|=12E|=2E|=16,即 A12=1A11A|=16