第29讲特征值与特征向量的进一步讨论 175 于是,1A1=±4,又因1A1<0,所以1A|=-4,从而得22为A的一个特征值 注意一般地,若b为非零常数,方阵A满足1aE+bA|=0,则类似本题解法可得方 阵A有一个特征值为-b 性质4设A1,A2,…,A是n阶方阵A=(a)的特征值,则 事实上,在 RIs I E-A I= 的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积 展开式中的其余各项,至多包含(n-2)个主对角线上的元素,其积关于A的次数最高是n 2,因此特征多项式中含λ的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它 们是 在特征多项式中令A=0,即得常数项1-A|=(-1)”|A 因此,如果只写出特征多项式的前两项与常数项,就有 1AE-A1=A”-(an+a2+…+am)A+…+(-1)"|A1. 由根与系数的关系可知,A的全体特征值的和A1+λ2+…。为A的主对角线元素之 和,即a1+a2+…+am,而A的全体特征值的积1A2…k。为|A 注意由性质4知:A可逆的充要条件是A的特征值都不为0 例2设n阶矩阵A的特征值为1,2,…,n,试求|2A+E1 解由性质3知2A+E的特征值为2×1+1,2×2+1,…,n×2+1;由性质4知 12A+E|=II(2i+1) 例3设a=(1,0,-1),矩阵A=aa2,n为正整数,试求|aE-A"1的值 解由A=a-0(1,-1)及a2a=(1,0,-1)0=2,得 aa= a(a'a)a=2A 设λ是A的特征值,x是A的属于x的特征向量,则从A2x=2Ax,得A2x=2x,即