176 线性代数重点难点30 (x2-2)x=0;又x≠0,所以x2-2=0,进而知A的三个特征值为A1=2,2=A3= 由性质3知:aE-A"的三个特征值为p1=a-2",2=3= 由性质4知:aE-A”1=p1k243=a2(a-2”) 例4设方阵A=(a)可逆,且A的特征值为1,23试求1A1的代数余子式 A1,A2,As之和An+A2+A3 解A1,A2,As为A的主对角线元素由性质4知:A·的主对角线元素之和等于 A‘的全部特征值之和. 由于A1的特征值为1,,3 故由性质3知A的全部特征值为1,2,3(因为A是A-1 的逆)由性质4知1A1=1×2×3=6又利用性质3得知A的全部特征值为号号 即6,3,2.所以A1+A2+A=6+3+2=11 例5已知四阶矩阵A与B相似A的特征值为3,,3,试计算1B2-E 解因为A~B,所以B的特征值亦为234,5(相似矩阵有相同的特征值)B1- E的特征值为1,2,3,4.再由性质4知,|B1-E|=1·2·3·4=24 例6已知A=2x2,B=020,且A~B,求x和y的值 解B为对角矩阵,A的特征值即为B的对角线元素-1,2,y,而特征方程为 1AE-A|=0, 即 (+2)[2-(x+1)A+(x-2)]=0 以A=-1代人得x=0,由x=0知A有特征方程 (+2)(2--2)=0,即(A+2)(A+1)(A-2)=0 故特征值为-1,2,-2,比较特征值知y=-2 性质5(方阵与对角矩阵相似的充要条件)n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是 有n个线性无关的特征向量 证只证必要性(充分性留给读者)设A可对角化,即存在可逆矩阵P=(a1,a an)(其中a1(i=1,2,…,n)为n维列向量),使 PAP 或A(a1,ax2,…,an)=(a1,a2,…,an)