正值与特征向量的进一步讨论 177 即有 (Aa1,Aa2,…,Aan)=(k1a1,A22,…,A,an), 所以 Aa=dIa1, Aa2=A2 a2, Aa.=A, a, 由此可知,α1是A的属于特征值λ,的特征向量(i=1,2,…,n),又因P是可逆的,所以 ax1,x2,…,an线性无关 由于不同特征值所对应的特征向量线性无关,所以由性质5可推出如下两个常用结论 推论1A可对角化的充要条件是有n个互不相等的特征值A1,A2,…,。 推论2A可对角化的充要条件是对A的任一特征根λ,其重数k,与对应线性无关特 征向量的个数相同,即n-R(λE-A)=k,=齐次方程组(λE-A)x=0的基础解系中 线性无关向量的个数 例7设A=0 问A能否对角化 入-1 入-1 A-1-4 (-1)4-10 5a+2A-2 +2A-2 =(A-1) 0 a-5a+2A-2 入-10 2 (A-1)0 2 (1)当2a-1≠1,2,即a≠1,3时,A有三个不同的特征值,所以由性质5知A可对 角化 (2)当2a-1=1,即a=1时,A的特征值为A1=1(二重),A2=2 由 1A1E-A=|E-A|=00-4 可知 R(λ1E-A)=R(E-A)=2 因λ1的重数≠n-R(A1E-A)=3-2=1,由性质5的推论知A不能对角化