178 线性代数重点难点30讲 (3)当2a-1=2,即a=3时,A的特征值为入,=1,k2=2(二重) 10 「10 I A2E-AI=I2E-AI= 可知R(2E-A)=2,因n-R(2E-A)=3-2=1≠A2的重数,由性质5的推论知A 不能对角化 综上,当a≠1,亏时,A可对角化 例8设矩阵A=x4y,已知A有三个线性无关的特征向量,x=2是A的 二重特征值,试求可逆矩阵P使得PAP为对角形矩阵 解因为A有三个线性无关的特征向量,A=2是A的二重特征值,所以由性质5知A 的对应于A=2的线性无关的特征向量有两个,故R(2E-A)=1 经过行的初等变换 1 1 2E-A 33-3 于是解得x=2,y=-2,从而矩阵A=24-2,其特征多项式 3-35 AE-A1=-2-42|=(A-2)2(A-6), 3A-5 由此得特征值A1=A2=2,A3=6 解(2E-A)x=0,得对应A1=A2=2的特征向量为 ax1=(1,-1,0)r, a2=(1,0,1) 解(6E-A)x=0,得对应A3=6的特征向量为a3=(1,-2,3) 200 令 P=(a,2,a3)=-10-2,则PAP=020 006