第29讲特征值与特征向量的进一步讨论 性质6(实对称矩阵A的性质)设A为实对称矩阵(A=A),则:①A的特征值为实 数,且A的特征向量为实向量;②A的不同特征值对应的特征向量必定正交;③A一定有n 个线性无关的特征向量,从而A相似于对角矩阵,且存在正交矩阵P,使PAP=PAP diag(A1,A2,…,λn)(主对角线元素依次为入1,A2,…,An的对角矩阵)其中λ1,…,λ为A的 特征值 例9设 4000 A B 则A与B() (A)合同且相似; (B)合同但不相似; (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 解因为A为实对称矩阵,故必有正交矩阵C,使得 CA 其中λ1,A2,A3,A4为A的特征值要证A与B合同且相似,须证A1=4,A2=k3=A4=0 1A-1-1 1A-1 1 1A-1 入00 000A 令1AE-A1=0,得出A的特征值A1=4,A2=A3=A4=0,所以对于实对称矩阵A,必 有正交矩阵C,使 CACE CAC= B