180 线性代数重点难点30讲 故A与B合同且相似故选(A) 例10若A1,A2为3阶实对称矩阵A的相异特征值,对应的特征向量分别为51=(1, 1,3),52=(4,5,a),则常数a= 解由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 0=512=1×4+1×5+3×a,即a=-3 例11设三阶实对称矩阵A的特征值为A1=-1,A2=A3=1,对应于A1的特征向量 为51=(0,1,1)2,求A 提示关键是实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交,且实对称矩阵必与对角 形矩阵A相似,即存在可逆矩阵C使CAC=A,或存在正交矩阵P使PAP=A求出 C或P,即可求得A,此题解题思路灵活性较强 解法1设x=(x1,x2,x3)为A的属于特征值A2=A3=1的特征向量,因为A为 实对称矩阵,故x=x2与5=1必正交,即x2+x=0.此方程组的基础解系为2 =0,53=1.52,53为A的属于2=A3=1的线性无关的特征向量 因为A=-1与A=1互异,故51,52,5线性无关,三阶方阵A有3个线性无关的特征 向量,于是A与对角形矩阵相似,即可逆矩阵C=(51,2,53),使得 CAC= 从而 100 010 10 0 0 10 10 0 法2设x=(x1,x2,x3)为A的属于2=A3=1的特征向量因为A为实对称 矩阵,故