472 浙江大学学报（工学） 第48 冻结工程中，冻土的力学性质，冻土帷幕的厚度等耳 根据傅里叶定律和热力学第一定律，平面内热 要参数都依赖于冻结温度场的分布，因此，冻结温度 传导的控制方程为 场的计算是人工冻结法理论研究的基础. 人工冻土温度场的计算方法主要有解析法、模把 +-Q+-0 (3) 法以及数值分析法三类，解析法由于其在理论上的可 式中：g,、4,分别代表单位时间内沿x、y方向的热 性，始终是研穷的一个重要部分此外，老虑到人 流量，Q代表单位时间、单位体积系统从外界吸收或 地层冻结后期发展缓慢 其温度场非常接近稳态导热 向外界放出的热量为士体密度，为士体比热容 温度场，对此状态可按稳态导热求解人工冻结温度 在推导过程中将士体假设为各向同性材料，即 场，这一观点被学术界和工程界普遍接受和 沿各方向传热系数均相等，在计算区内不考虑系统 基于稳态导热理论，各国专家、学者们已经取得 与外界的热量交换，将热势定义和稳态条件代入控 了很多稳态温度场解析解：Trupak[叮和Bakho 制方程，式(3)可进一步化简为 ]分别提出了单管、单排和双排族结特的族士堆 幕温度场计算方法] +-0 (4) :等)也研究获得了单挂 管温度场分布公 线形冻土帷落的温度场.在国内，陈文豹等 式(4)的极坐标形式为 （)=0 人工冻结温度场进行了研究，笔者也对稳态温度场 的计算公式讲行了研究和完善1可.姚而，这些公式 由上述讨论可知，Laplace方程的解即为热势函 都是基于冻土帷幕自由发展的情况，没有考虑冻结 数.以单管情形为基础，将各管产生热势的原理看作 管周边可能存在的边界限制 是各管圆心，处存在一冷酒，在稳态时该点冷源单侣 在实际工程中，在布置的冻结管附近常常存在 时间的吸热量为q。,则其存在会使平面内每点都会 如地铁，地下街道，地下市政设施以及地下室等地下 产生 一定的温度势降低根据势 叠加原理，在平 构筑物，这些构筑物会对土体热量的传导产生影响 面内存在多个这样的点冷源时，这种热势的降低是 从而影响温度场的分布，在这样的情况下，采用无边 可以叠加的，因此，当平面内布置多根冻结管时，平 界限制的温度场计算公式就会产生较大误差.直角 面内任一点的热势等于各管中心冷源在该点产生的 绝热边界即为：利用冻结法对基坑阳角进行封水， 热势的叠加 结孔附近的地连墙表面 一般会铺上隔热板来抑制 根据以上假设，在点冷源周围画上从点冷源到任 量散发以保持冻结效果，因此，地连墙可以近似地看 意点距离r为半径的圆，圆周上一点的热流量为4，则 成是绝热边界，此种情况就可以看作是在冻结管 近存在一直角绝热边界本文基于稳态导热理论，采 =2=-2ar 用镜像法和 函数叠加法推导了直角绝热边界附近 并由此得到： 布置少量冻结管时的稳态温度场解析解。 腰=-中=-nr+C. (5) 1热势定义及势函数叠加原理 当平面上存在根冻结管时，即n个点冷源时，冻结 区内任意一点的势为 在土体中，热传递主要有3种形式：传导、对流 =-(nn+1n+…+nrC.(6) 辐射.在一般的工程应用中，后两者对推导结果的 响相对于前者可以忽略不计，因此，本文的推导中不 即 考虑后2种热传递形式。 =-n+C 根据傅里叶定律： 式中：”为该点到第i根冻结管中心的距离，g为第 (1) :根冻结管的热流量，C为积分常数」 式中：9，代表沿单位时间内x方向的热流量，k代表 土体的传热系数，0代表土体温度.令D一0，将其定 无限大区域内单根冻结管的稳态 义为热势，则有 温度场求解 ,=-骋 (2) 本文中采用定义热势函数的方法来求解无限大 194-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House. .All rights re erved. http://www.cnki.ne 冻结工程中，冻土的力学性质、冻土帷幕的厚度等重 要参数都依赖于冻结温度场的分布，因此，冻结温度 场的计算是人工冻结法理论研究的基础． 人工冻土温度场的计算方法主要有解析法、模拟 法以及数值分析法三类，解析法由于其在理论上的可 靠性，始终是研究的一个重要部分．此外，考虑到人工 地层冻结后期发展缓慢，其温度场非常接近稳态导热 温度场，对此状态可按稳态导热求解人工冻结温度 场，这一观点被学术界和工程界普遍接受［１－４］ ． 基于稳态导热理论，各国专家、学者们已经取得 了很 多 稳 态 温 度 场 解 析 解：Ｔｒｕｐａｋ［１］和 Ｂａｋｈｏｌ－ ｄｉｎ［２］分别提出了单管、单排和双排冻结管的冻土帷 幕温度场计算方法；Ｓａｎｇｅｒ等［３］也研究获得了单排 管温度场分布 公 式；户 部 畅 等［４－５］得出了多管等间 距直线形冻土帷幕的温度场．在国内，陈文豹等［６］对 人工冻结温度场进行了研究，笔者也对稳态温度场 的计算公式进行了研究和完善［７－１５］ ．然而，这些公式 都是基于冻土帷幕自由发展的情况，没有考虑冻结 管周边可能存在的边界限制． 在实际工程中，在布置的冻结管附近常常存在 如地铁、地下街道、地下市政设施以及地下室等地下 构筑物，这些构筑物会对土体热量的传导产生影响， 从而影响温度场的分布．在这样的情况下，采用无边 界限制的温度场计算公式就会产生较大误差．直角 绝热边界即为：利用冻结法对基坑阳角进行封水，冻 结孔附近的地连墙表面一般会铺上隔热板来抑制热 量散发以保持冻结效果，因此，地连墙可以近似地看 成是绝热边界，此种情况就可以看作是在冻结管附 近存在一直角绝热边界．本文基于稳态导热理论，采 用镜像法和势函数叠加法推导了直角绝热边界附近 布置少量冻结管时的稳态温度场解析解． １ 热势定义及势函数叠加原理 在土体中，热传递主要有３种形式：传导、对流、 辐射．在一般的工程应用中，后两者对推导结果的影 响相对于前者可以忽略不计，因此，本文的推导中不 考虑后２种热传递形式． 根据傅里叶定律： ｑｘ ＝－ｋθ ｘ． （１） 式中：ｑｘ 代表沿单位时间内ｘ 方向的热流量，ｋ代表 土体的传热系数，θ代表土体温度．令Φ＝ｋθ，将其定 义为热势，则有 ｑｘ ＝－Φ ｘ． （２） 根据傅里叶定律和热力学第一定律，平面内热 传导的控制方程为 ｑｘ ｘ＋ｑｙ ｙ－Ｑ＋ρｃθ ｔ＝０． （３） 式中：ｑｘ、ｑｙ 分别 代 表 单 位 时 间 内 沿ｘ、ｙ 方 向 的 热 流量，Ｑ 代表单位时间、单位体积系统从外界吸收或 向外界放出的热量，ρ为土体密度，ｃ为土体比热容． 在推导过程中将土体假设为各向同性材料，即 沿各方向传热系数均相等．在计算区内不考虑系统 与外界的热量交换，将热势定义和稳态条件代入控 制方程，式（３）可进一步化简为 ２ Φ ｘ２ ＋２ Φ ｙ２ ＝０． （４） 式（４）的极坐标形式为 ｄ ｄｒｒｄΦ （ ） ｄｒ ＝０． 由上述讨论可知，Ｌａｐｌａｃｅ方程的解即为热势函 数．以单管情形为基础，将各管产生热势的原理看作 是各管圆心处存在一冷源，在稳态时该点冷源单位 时间的吸热量为ｑｃ，则其存在会使平面内每点都会 产生一定的温度势降低．根据势函数叠加原理，在平 面内存在多个这样的点冷源时，这种热势的降低是 可以叠加的，因此，当平面内布置多根冻结管时，平 面内任一点的热势等于各管中心冷源在该点产生的 热势的叠加． 根据以上假设，在点冷源周围画上从点冷源到任 意点距离ｒ为半径的圆，圆周上一点的热流量为ｑｃ，则 ｑｃ ＝２πｒｑ ＝－２πｒｄΦ ｄｒ， 并由此得到： ｄΦ ｄｒ＝－ ｑｃ ２πｒ，Φ ＝－ｑｃ ２π ｌｎｒ＋Ｃ ． （５） 当平面上存在ｎ根冻结管时，即ｎ个点冷源时，冻结 区内任意一点的势为 Φ ＝－ ｑｃ１ ２π ｌｎｒ１ ＋ｑｃ２ ２π ｌｎｒ２ ＋ … ＋ｑｃｎ ２π （ ） ｌｎｒｎ ＋Ｃ ．（６） 即 Φ ＝－ ∑ ｎ ｉ＝１ ｑｃｉ ２π ｌｎｒｉ ＋Ｃ ． 式中：ｒｉ 为该点到第ｉ根冻结管中心的距离，ｑｃｉ为第 ｉ根冻结管的热流量，Ｃ 为积分常数． ２ 无限大区域内单根冻结管的稳态 温度场求解 本文中采用定义热势函数的方法来求解无限大 ２７４ 浙 江 大 学 学 报 （工学版） 第４８卷